フェリス女学院中学校００年第４問（解答・解説）
（１）
（２）で<１０>を求める問題があるので、何か規則性があるはずですね。
こういう規則性の問題では、いきなり大きな数で考えずに、まず小さな数から考えることが大切です。
<１>＝１、<２>＝２となることは明らかですね。
<３>を考えます。
最後に並べる長方形のタイルが横長の場合と縦長の場合が考えられます。 ←最初で場合分けして考えてもいいでしょう。
最後に横長の長方形のタイルを並べる場合、上下に２枚並べる必要があります。
横長の場合、直前の状態は<１>の状態になり、縦長の場合、直前の状態は<２>の状態になるから、
<３>
＝<１>＋<２>
＝１＋２
＝３
となります。
<４>、<５>、・・・の場合も同様に考えることができますね。
例えば、<５>の場合の図は、次のようになります。
<４>
＝<２>＋<３>
＝２＋３
＝５
<５>
＝<３>＋<４>
＝３＋５
＝８
となります。
（２）
直前の２数の和を次々に並べていけばいいことは、（１）からわかりますね。
フィボナッチ数列と呼ばれる数列になっています。
<１>１
<２>２
<３>３
<４>５
<５>８
<６>１３
<７>２１
<８>３４
<９>５５
<１０>８９
同様の規則性の問題（灘中学校１９９４年２日目第１問）があるので、ぜひ解いてみましょう。
なお、仮に（２）の答えだけを求めるのであれば、次のように組合せを用いて解くこともできます。 ←面倒ですが・・・
横長の長方形のタイルを並べる場合、上下に２枚並べる必要がありますが、この２枚でできる正方形を１つのタイルと考えます。
結局、縦長の長方形と正方形を並べると考えればいいですね。
正方形の個数で場合分けして考えます。
（あ）正方形が０個の場合
縦長の長方形を１０個並べることになりますね。
この場合は１通りあります。
（い）正方形が１個の場合
縦長の長方形８個と正方形１個を並べることになります。
正方形をどこに並べるかで９通りあります。
（う）正方形が２個の場合
縦長の長方形６個と正方形２個を並べることになります。
正方形をどこに並べるかで（８×７）/（２×１）＝２８通りあります。 ←組合せですね。
（え）正方形が３個の場合
縦長の長方形４個と正方形３個を並べることになります。
正方形をどこに並べるかで（７×６×５）/（３×２×１）＝３５通りあります。
（お）正方形が４個の場合
縦長の長方形２個と正方形４個を並べることになります。
縦長の長方形をどこに並べるかで（６×５）/（２×１）＝１５通りあります。
（か）正方形が５個の場合
正方形を５個を並べることになります。
この場合は１通りあります。
以上（あ）〜（か）より、<１０>は
１＋９＋２８＋３５＋１５＋１
＝８９
となります。
（参考）
フィボナッチ数列〜０、１で始まり、以後の項が直前の２項の和になっている数列
０，１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，２３３，３７７，６１０，・・・
トリボナッチ数列〜０、０、１で始まり、以後の項が直前の３項の和になっている数列
０，０，１，１，２，４，７，１３，２４，４４，８１，１４９，２７４，５０４，・・・
テトラナッチ数列〜０、０、０、１で始まり、以後の項が直前の４項の和になっている数列
０，０，０，１，１，２，４，８，１５，２９，５６，１０８，２０８，４０１，７７３，・・・
トリボナッチ数列の問題（慶應義塾中等部２００７年第６問）をホームページで取り上げているので、ぜひ解いてみましょう。
