フェリス女学院中学校１６年第５問（解答・解説）
（１）
男子の人数と女子の人数が等しいこととＡとＢの各グループの男女の人数の差が等しいことから、いずれか一方のグループでは男子が女子より多く、他方のグループでは女子が男子より多くなっていることになります。
以下、すべての人の得点が３５点低くなったと考えると、平均点は次のようになります。
男子 女子
Ａ ３５ ３０
Ｂ ５ ０
Ａグループで男子が女子より多いとすると、男子の合計点が女子の合計点より少なくなることはありえず、当然、男子の平均点が女子の平均点より低くなることはありえません。
したがって、Ａグループでは男子が女子より少なくなり、正解は④となります。
（２）
問題文に与えられた平均点の情報から、それぞれのグループには男女がそれぞれ最低１人いることがわかります。
それぞれのグループの男女の人数が１人と８人の場合、女子の合計点が３０×８＋０×１＝２４０点、男子の合計点が５×８＋３５×１＝７５点となり、男子の平均点が女子の平均点より低くなり、条件を満たします。 ←極端な場合から考えます。
したがって、最も少ない学年の人数は
（１＋８）×２
＝１８人
となります。
男女の合計得点の差が２４０－７５＝１６５点の状態から、それぞれのグループの男女の人数が１人ずつ増えると
５＋３５－（３０＋０）
＝１０点
ずつ男女の合計得点の差が縮まります。
男子の合計得点が女子の合計得点を上回らない範囲では、それぞれのグループの男女の人数を
１６５÷１０
＝１６．５
→１６人
ずつ増やすことができます。
したがって、最も多い学年の人数は
１８＋１６×２×２
＝８２人
となります。
（３）
男女の人数はそれぞれ６０/２＝３０人となります。
平均点を低くなるのは、平均点の高いＡの人数が最も少なくなる場合、つまりＡの男子が１人、女子が８人、Ｂの男子が２９人、女子が２２人の場合ですね。
したがって、求める平均点は
（３５×１＋３０×８＋５×２９＋０×２２）/６０＋３５ ←最初に取り除いた３５点をたさないといけませんね。
＝４２点
となります。