白陵中学校２００７年算数１次第７問（解答・解説）
等差数列の和の公式をよく理解していれば、連続整数の和は、（あ）奇数個の場合、真ん中の数（平均）×個数となり、（い）偶数個の場合、（最初の数＋最後の数）×個数/２となることがすぐにわかるはずです。 ←わかりにくければ、問題文以外の具体例も考えてみましょう。例えば、１５であれば、７＋８、４＋５＋６、１＋２＋３＋４＋５、（０も使えると考えると、０＋１＋２＋３＋４＋５）となります。
６０を素因数分解すると、６０＝６×１０＝２×２×３×５となります。
（あ）奇数個の場合
個数としては３個、５個、１５個が考えられます。
６０＝２０×３＝１９＋２０＋２１○
６０＝１２×５＝１０＋１１＋１２＋１３＋１４○
６０＝４×１５×
（い）偶数個の場合
最初の数＋最後の数としては３（個数は４０個）、５（個数は２４個）、１５（個数は８個）が考えられます。
３＝１＋２、５＝１＋４＝２＋３となりますが、いずれも無理であることはすぐにわかりますね。
６０＝４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１ ←和が１５で、差が８−１＝７という和差算を解くと、最初の数と最後の数が求められますね。もちろん、和が１５で、差が１という和差算を解いて、真ん中の２つの数を求めてもよいでしょう。
なお、ある自然数（１以上の整数）を２個以上の連続自然数の和で表す方法は、その自然数の１以外の奇数の約数の個数だけあります。 ←１個の場合も連続自然数の和として許容するなら、ある自然数を連続自然数の和で表す方法は、その自然数の奇数の約数の個数だけあるということになりますね。
負の数についての知識が必要になりますが、このことに注目して解くと、次のようになります。
１８の場合、奇数の約数は、１、３、９の３個ありますね。
（１８＝１８×１＝１８）
１８＝６×３＝６＋６＋６＝（６−１）＋６＋（６＋１）
１８＝２×９＝２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＋２＝（２−４）＋（２−３）＋（２−２）＋（２−１）＋２＋（２＋１）＋（２＋２）＋（２＋３）＋（２＋４）＝（−２）＋（−１）＋０＋１＋２＋３＋４＋５＋６＝３＋４＋５＋６ ←下線部分がうまく消えますね。
６０の場合、奇数の約数は、１、３、５、１５の４個ありますね。
（６０＝６０×１＝６０）
６０＝２０×３＝２０＋２０＋２０＝（２０−１）＋２０＋（２０＋１）＝１９＋２０＋２１
６０＝１２×５＝１２＋１２＋１２＋１２＋１２＝（１２−２）＋（１２−１）＋１２＋（１２＋１）＋（１２＋２）＝１０＋１１＋１２＋１３＋１４
６０＝４×１５＝４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＋４＝（４−７）＋（４−６）＋（４−５）＋（４−４）＋（４−３）＋（４−２）＋（４−１）＋４＋（４＋１）＋（４＋２）＋（４＋３）＋（４＋４）＋（４＋５）＋（４＋６）＋（４＋７）＝（−３）＋（−２）＋（−１）＋０＋１＋２＋３＋４＋５＋６＋＋７＋８＋９＋１０＋１１＝４＋５＋６＋＋７＋８＋９＋１０＋１１ ←下線部分がうまく消えますね。