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 関西学院中学部１９９６年２日目第１問（４）次の計算をしなさい。 ｛１−１/（４×４）｝×｛１−１/（５×５）｝×｛１−１/（６×６）｝×｛１−１/（７×７）｝ |
| 解答・解説 |
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与えられた式 ＝｛（４×４−１×１）/（４×４）｝×｛（５×５−１×１）/（５×５）｝×｛（６×６−１×１）/（６×６）｝×｛（７×７−１×１）/（７×７）｝ ＝（４＋１）×（４−１）/（４×４）×（５＋１）×（５−１）/（５×５）×（６＋１）×（６−１）/（６×６）×（７＋１）×（７−１）/（７×７） ←和と差の積が２乗の差となることを利用しました。 ＝（５×３×６×４×７×５×８×６）/（４×４×５×５×６×６×７×７） ←分母・分子に同じ数字がたくさん現れるので、うまく約分できますね。 ＝（３×８）/（４×７） ←分母、分子とも、最小のものと最大のものが１個ずつ残りますね。 ＝６/７ （参考）和と差の積＝２乗の差 一辺の長さが□と○（□＞○とします）の正方形を重ね合わせて考えます。  黄色の長方形の面積と水色の長方形の面積の和は、右の図を見ると、（□＋○）×（□−○）と表されます。 一方、左の図を見ると、□×□−○×○と表されます。 したがって、（□＋○）×（□−○）＝□×□−○×○となります。 この面積を重ね合わせるという手法は、例えば、２０１７×２０１７−２０１６×２０１６という計算問題を解くときなどに役立ちます。 （追加設問） 次のように、あるきまりにしたがって式が並んでいます。 １−１/（２×２）、１−１/（３×３）、１−１/（４×４）、１−１/（５×５）、・・・ このとき、１番目から□番目までの積を計算すると１３/２５となります。 （解答・解説） □番目の式は１−１/｛（□＋１）×（□＋１）｝となります。 上の計算問題と同様に考えると、１番目から□番目までの積は、 １×（□＋２）/｛２×（□＋１）｝ ←分母、分子とも、最小のものと最大のものが１個ずつ残りますね。 ＝（□＋２）/｛２×（□＋１）｝ となります。 これが１３/２５と等しいから、 （□＋２）：｛２×（□＋１）｝＝１３：２５ ←Ａ/Ｂ、Ａ：Ｂ、Ａ÷Ｂは同じことです。 （□＋２）：（□＋１）＝１３：２５/２＝２６：２５＝[２６]：[２５] □＋２と□＋１の差が一定であることに注目すると、[１]＝１となり、□は ２５−１ ＝２４ となります。 |