久留米大学附設中学校２０１４年算数第４問（解答・解説）
立方体から三角錐を４個切り取っていれば正四面体となることに着眼して解きます。
（１）
立方体から三角錐を４個切り取っていれば、切り口は、立方体の１つの面と同じ正方形の各辺の真ん中の点を結んだ正方形となり、その面積は立方体の１つの面の面積の半分となりますが、実際には三角錐のうち１個を切り取っていないため、切り取られた切断面の半分のうち１/４が復活することになり、切り口の面積は立方体の１つの面の面積の５/８、つまり、６×６×５/８＝４５/２cm2となります。
（２）
立方体から三角錐を４個切り取った正四面体の体積は、立方体の体積の１−１/２×１×１/３×４＝１/３で、上下に分けると、合同な２つの立体に分けられ、それぞれの体積は、立方体の体積の１/６となります。 ←体積比＝底面積の比×高さの比×錐体の柱体に対する比で処理しました。
あとは、実際には切り取っていない三角錐１個の部分を復活させるだけです。
上側の部分には切り取っていない三角錐の上半分（体積は立方体の体積の１/６×（１×１×１）/（２×２×２）＝１/４８）を復活させ、下側の部分には三角錐の下半分（三角錐台で、体積は立方体の体積の１/６×（１−１/８）＝７/４８）を復活させることになります。 ←相似な立体の体積比＝相似比×相似比×相似比となることを利用しました。
したがって、上側の立体の体積は６×６×６×（１/６＋１/４８）＝６×６×６×３/１６＝８１/２cm3となり、下側の立体の体積は６×６×６×（１/６＋７/４８）＝６×６×６×５/１６＝１３５/２cm3となります。