久留米大学附設中学校２０１６年算数第４問（解答・解説）
いずれの問題も、同一平面上の２点を結ぶことで、切り口はすぐにわかりますね。
辺ＢＣの真ん中の点をＭとし、三角形ＯＡＭをによる各立体の切り口を底面、辺ＢＣに平行な線を各立体の高さと考え、底面積の比×高さ平均の比により体積比を求めることにします。 ←断面積が三角形になるもの同士を比べることで、三角柱を斜めに切断した立体（いわゆる断頭三角柱）として処理できますね。底面積の比はいわゆる隣辺比で処理します。
辺ＢＣの長さを３としたときの各点の高さは下の図のようになります。
（１）
底面積の比 三角形ＡＯＭ：黄色の三角形＝（３×３）：（１×２）＝９：２
高さの比 （０＋０＋３）/３：（０＋０＋１）/３＝３：１
体積の比 （９×３）：（２×１）＝２７：２
だから、（頂点Ｏを含む立体の体積）：（頂点Ｏを含まない立体の体積）は
２：（２７−２）
＝２：２５
となります。
なお、三角形ＯＢＣを含む面を底面と考えて三角錐の体積比で処理することもできます。
（２）
底面積の比 三角形ＡＯＭ：黄緑色と水色の三角形＝（３×３）：（２×２）＝９：４
高さの比 （０＋０＋３）/３：（１＋１＋３）/３＝３：５
体積の比 （９×３）：（４×５）＝２７：２０
だから、（頂点Ｏを含む立体の体積）：（頂点Ｏを含まない立体の体積）は
（２７−２０）：２０
＝７：２０
となります。
なお、頂点Ｏを含む立体を三角錐Ａ−ＦＧＩと三角柱ＦＧＩ−ＯＤＥに分割して処理することもできます。
（３）
底面積の比 三角形ＡＯＭ：黄緑色の三角形＝（３×３）：（２×１）＝９：２
高さの比 （０＋０＋３）/３：（１＋２＋３）/３＝１：２
体積の比 （９×１）：（２×２）＝９：４
だから、（頂点Ｏを含む立体の体積）：（頂点Ｏを含まない立体の体積）は
（９−４）：４
＝５：４
となります。
