久留米大学附設中学校２０２４年算数第４問（解答・解説）
問題文に与えられた図２を見ながら解けば十分で、わざわざ図をかくまでもないでしょう。
（２）
立方体から合同な４つの三角すいを取り除いたものが正四面体になります。
三角すいは、立方体と比べると、底面積が半分で、高さが同じだから、その体積は立方体の体積の１/２×１×１/３＝１/６となります。
したがって、正四面体の体積は立方体の体積の１−１/６×４＝１/３倍となり、３×３×３×１/３＝９cm3となります。
（１）（３）
図２の２倍のサイズの立方体と正四面体を考えます。
この立体を上下で２等分したときに正四面体も２等分されますが、それが図３を組み立てた立体になります。
図３の正方形は、対角線の長さ（立方体の向かいあう正方形の中心同士を結んだ直線の長さで、立方体の１辺の長さに他ならないですね））が６cmだから、その面積は６×６×１/２＝１８cm2となります。
ＧＨの長さは立方体の１辺の半分の長さとなるから３cmとなります。
立方体の中にぴったり含まれる正四面体の体積は立方体の体積の１/３倍となるから、求める体積は６×６×６×１/３×１/２＝３６cm3となります。
（参考）
正四面体の中にぴったり含まれる正八面体は、正四面体がぴったりおさまる立方体の各面の中心が頂点となり、その体積は立方体の体積の１/２×１×１/３＝１/６倍だから、立方体と正四面体と正八面体の体積比は１：１/３：１/６＝６：２：１となります。
また、上の結果から、辺の長さが等しい正四面体と正八面体の体積比をすぐに求められるので、ぜひやってみましょう。