甲陽学院中学校２０２３年算数１日目第５問（解答・解説）
過去に算数オリンピックで出された問題（算数オリンピック２００２年ファイナル第３問）の図を消して、数値を変更した問題になります。
問題文に図がないので、とりあえず適当な図をかき、必要があれば修正することになりますが、正確な図をかくことに固執しないことが大切です。
２つの三角形ＰＦＧと三角形ＰＨＥの面積が等しいことから、その両者に三角形ＰＥＦの面積を加えたものも等しくなり、三角形ＧＥＦの面積と三角形ＨＥＦの面積も等しくなります。
底辺ＥＦが等しいことから、三角形ＧＥＦと三角形ＨＥＦは高さも等しくなり、ＥＦとＧＨは平行となります。
したがって、三角形ＢＦＥと三角形ＤＨＧは相似（相似比はＢＦ：ＤＨ＝３：２）となるから、ＢＥの長さを③cmとすると、ＤＧの長さは②cmとなり、長方形ＡＢＣＤの縦の長さに着目すると、
③＋３＝②＋７
①＝４
となり、ＤＧの長さは４×②/①＝８cmとなります。
また、三角形ＰＥＦと三角形ＰＧＨは相似（相似比は、ＥＦ：ＧＨ＝３：２）だから、ＰＦ：ＰＨ＝３：２となり、三角形ＰＧＨの面積は９０×２/３＝６０cm2となります。
結局、三角形ＤＦＧの面積は
三角形ＰＦＧの面積＋三角形ＰＧＨの面積＋三角形ＤＧＨ－三角形ＤＨＦの面積
＝９０＋６０＋１２×８×１/２－１２×（８＋７）×１/２
＝１０８cm2
となり、ＦＣの長さは
１０８×２/８ ←面積の逆算ですね。
＝２７cm
となるから、長方形ＡＢＣＤの面積は
（８＋７）×（１８＋２７）
＝１５×４５
＝６７５cm2
となります。
なお、三角形の面積の逆算の処理の部分ですが、変化量で処理することもできます。
