甲陽学院中学校２０２４年算数２日目第５問（解答・解説）
３で割ったときの余りで数を分類します。
（Ａ）３で割ると１余る数・・・１、４、７
（Ｂ）３で割ると２余る数・・・２、５
（Ｃ）３で割り切れる数・・・３、６
まず、５桁の数の各位にＡ、Ｂ、Ｃを割り振り、あとで数字を配置すると考えます。
（１）（イ）
隣り合った２つの位の数の和が３の倍数となるのは、Ａ、Ｂを１個ずつ組み合わせる場合とＣを２個組み合わせる場合になります。
５桁の数は、次のように最初の２桁の位が決まると残りの位が自動的に定まります。
ＡＢＡＢＡ・・・３×２×３×２×３＝１０８通り ←Ａは３通り、Ｂは２通りあります。
ＢＡＢＡＢ・・・２×３×２×３×２＝７２通り
ＣＣＣＣＣ・・・２×２×２×２×２＝３２通り ←Ｃは２通りあります。
したがって、条件を満たす５桁の数は全部で
１０８＋７２＋３２
＝２１２通り
あります。
（ア）
５桁の数は１ＢＡＢＡとなるから、１×２×３×２×３＝３６通りあります。
（２）
隣り合った３つの位の数の和が３の倍数となるのは、Ａ、Ｂ、Ｃを１個ずつ組み合わせる場合とＡを３個組み合わせる場合とＢを３個組み合わせる場合とＣを３個組み合わせる場合になります。
５桁の数は、次のように最初の３桁の位が決まると残りの位が自動的に定まります。
ＡＢＣＡＢ・・・７２通り ←Ａは３通り、Ｂ、Ｃは２通りあります。ＢとＣは条件的に同じなので、（１）の（イ）で求めた、Ａが２個でＢが３個の場合と同じですね。〜条件の対等性を利用して作業を減らす！
ＡＣＢＡＣ・・・７２通り
ＢＡＣＢＡ・・・７２通り
ＢＣＡＢＣ・・・２×２×３×２×２＝４８通り
ＣＡＢＣＡ…７２通り
ＣＢＡＣＢ・・・４８通り
ＡＡＡＡＡ・・・３×３×３×３×３＝２４３通り
ＢＢＢＢＢ・・・３２通り ←ＢとＣは条件的に同じなので、（１）の（イ）で求めた、Ｃが５個の場合と同じですね。〜条件の対等性を利用して作業を減らす！
ＣＣＣＣＣ・・・３２通り
したがって、条件を満たす５桁の整数は全部で
７２×４＋４８×２＋２４３＋３２×２
＝６９１通り
あります。
なお、Ａ、Ｂ、Ｃを１個ずつ組み合わせる場合の最初の３桁の組合せは３×２×１＝６通りあり、このうち、Ａが３個目の数字となる場合の２通りは、５桁の数にＡが１個あり、残りの４通りは、５桁の数にＡが２個あることが書き出さなくてもわかります。