甲陽学院中学校２０２５年算数２日目第４問（解答・解説）
中学入試だけでなく大学入試でも昔からよく出されている問題です（慶應義塾中等部２００７年算数第６問、京都大学２００７年理系乙数学第１問 問２、久留米大学附設中学校２０２０年算数第１問（５）など）。
「１番目」（１cmの長さ）から順に調べていきます。
１cmの長さに並べる方法・・・１通り
２cmの長さに並べる方法・・・１通り
３cmの長さに並べる方法・・・１＋１＋１または３の２通り
４cmの長さに並べる方法・・・左端①（３cmの長さに並べる方法～２通り）または左端②（１cmの長さに並べる方法～１通り）の合計３通り
５cmの長さに並べる方法・・・左端①（４cmの長さに並べる方法～３通り）または左端②（２cmの長さに並べる方法～１通り）の合計４通り
６cmの長さに並べる方法・・・左端①（５cmの長さに並べる方法～４通り）または左端②（３cmの長さに並べる方法～２通り）の合計６通り
〇（４以上）cmの長さに並べる方法は、左端に①を置いた場合は、残りの（〇－１）cmの長さに並べる方法を考えればよく、左端に③を置いた場合は、残りの（〇－３）cmの長さに並べる方法を考えればいいですね。
結局のところ、１つ「前」と３つ「前」の場合の数を足すだけです。
場合の数を数列として順番に書き出していきます。
１，１，２，３，４，６，９，１３，１９，２８，４１
となり、（３）の答えが得られます。
なお、誘導は最初に①を使うか③を使うかで場合分けしていますが、最後に①を使うか③を使うかで場合分けしても同じことです。
上で紹介した京大の問題では、最初で場合分けする意味がありますが、この問題の場合、むしろ最後（直前）で場合分けしたほうがとっつきやすいでしょうね。