甲陽学院中学校１９９５年算数１日目第４問（解答・解説）
（１）
六角形ＡＢＣＤＥＦは６つの角（内角）の大きさがすべて等しいので、１つの内角の大きさは、
１８０−３６０/６＝１２０度
←１８０×（６−２）/６としてもいいでしょう。
になります。
そこで、下図のように辺を延長すると正三角形（三角形ＰＱＲ）となります。
次のことは、覚えておいて損はないでしょう。灘中をはじめとしていろいろな中学校で出題されています。
内角がすべて１２０度の六角形は、１つおきに辺を延長すると正三角形になります。
正三角形ＰＱＲの１辺の長さは
ＰＱ＝ＰＢ＋ＢＣ＋ＣＱ＝ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＝１０＋３０＋３０＝７０cm
となるので、
ＥＦ＝ＥＲ＝ＱＲ−ＱＤ−ＤＥ＝ＱＲ−ＣＤ−ＤＥ＝７０−３０−２０＝２０cm
ＦＡ＝ＲＰ−ＡＰ−ＲＦ＝ＲＰ−ＡＢ−ＥＦ＝７０−１０−２０＝４０cm
となります。
（２）
１辺の長さ１０cmの正三角形（三角形ＡＰＢ）と１辺の長さ２０cmの正三角形（三角形ＥＲＦ）と１辺の長さ３０cmの正三角形（ＣＱＤ）と１辺の長さ７０cmの正三角形（三角形ＰＱＲ）は、相似です。
相似比は、
１：２：３：７
だから、面積比は
１×１：２×２：３×３：７×７＝１：４：９：４９
となります。
したがって、六角形ＡＢＣＤＥＦの面積は、１辺の長さ１０cmの正三角形の面積の
｛４９−（１＋４＋９）｝/１＝３５倍
となります。
なお、三角形ＰＱＲを１辺の長さ１０cmの正三角形４９個に分割した図を描いて求める（正三角形の「方眼紙」で求める）方法もありますが、本問では、少し面倒でしょう。
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