甲陽学院中学校１９９５年算数１日目第６問（解答・解説）
２つの三角錐（すい）を描きこみ、それぞれの辺の交点を描き、同一平面上の交点同士を結べば、上図の赤い三角錐Ａ−ＩＪＫが共通部分となることがわかります。
したがって、求める辺の数は６個となります。
さて、体積を求めましょう。
（解法１）「比」で求めます。
共通部分の三角錐Ａ−ＩＪＫの体積は、三角錐Ａ−ＥＢＤ（Ｅ−ＡＢＤ）の体積の１/４だから、
←２つの三角錐は、高さが共通で、三角錐Ａ−ＩＪＫの底面積は三角錐Ａ−ＥＢＤの底面積の１/４倍
（１×１×１/２）×１×１/３×１/４＝１/２４cm3
三角錐Ａ−ＥＢＤ（Ｅ−ＡＢＤ）の体積
となります。
最後に、「底面は底にあるとは限らない」ということと、「１つの立体に対して２通りの見方をする」ということを確認しておきましょう。
当初、体積の比較の対象である三角錐Ａ−ＩＪＫと高さを共通にするために、三角錐Ａ−ＥＢＤ（Ｅ−ＡＢＤ）の底面を三角形ＥＢＤと見ましたが、体積を求める段階では、底面積と高さが求まるように、底面を三角形ＡＢＤと見たんですね。
（解法２）「差」で求めます。
少し面倒ですが・・・
求める体積
＝（三角錐Ｅ−ＡＢＤの体積）−（三角錐Ｉ−ＡＥＪの体積）−（三角錐Ｊ−ＡＢＫの体積）−（三角錐Ｋ−ＡＤＩの体積）
＝（１×１×１/２）×１×１/３−（１×１×１/４）×１/２×１/３−（１×１×１/４）×１/２×１/３−（１×１×１/４）×１/２×１/３
＝１×１×１/２×１×１/３−（１×１×１/４×１/２×１/３）×３
＝１/６−１/８＝１/２４cm3
なお、底面積（三角形ＡＥＪの面積、三角形ＡＢＫの面積、三角形ＡＤＩの面積）が１×１×１/４となっているのは、立方体の１つの面（正方形）の面積の１/４倍だからです。
（解法３）「２つの立体の相似比がＡ：Ｂ → 体積比はＡ×Ａ×Ａ：Ｂ×Ｂ×Ｂ」を利用して、「差」＋「比」で求めます。
少し面倒ですが・・・
相似比 三角錐Ａ−ＩＪＫ：三角錐Ａ−ＨＦＣ＝ＡＩ：ＡＨ＝１：２
体積比 三角錐Ａ−ＩＪＫ：三角錐Ａ−ＨＦＣ＝１×１×１：２×２×２＝１：８
求める体積
＝（三角錐Ａ−ＨＦＣ）×１/８
＝｛（立方体ＥＦＧＨ−ＡＢＣＤの体積）−（三角錐Ｆ−ＡＢＣの体積）−（三角錐Ｈ−ＡＣＤの体積）−（三角錐Ａ−ＥＦＨの体積）−（三角錐Ｃ−ＦＧＨの体積）｝×１/８
＝｛（立方体ＥＦＧＨ−ＡＢＣＤの体積）−（三角錐Ｆ−ＡＢＣの体積）×４｝×１/８
＝（１×１×１−１×１×１/２×１×１/３×４）×１/８
＝１/２４cm3
