甲陽学院中学校１９９７年算数２日目第３問（解答・解説）
３ｍの棒も５ｍの棒も最低１本ずつ用いるから、３＋５＝８ｍ以上の棒しか作れません。
そこで、８ｍを除いた棒の長さ（□）に注目して考えます。
棒の長さ＝８＋□
注目！
あとは、３と５で作ることができない最大の□を求めるだけですね。
横に６個ずつ数字を並べた表をかきます。 ←横に３個あるいは５個ずつ数字を並べてもよいでしょう。
上の図で、ある数が作られると、その数の下にある数はすべて作ることができます（★）。縦方向は、６（３＋３で作ることができますね）ずつ増えるからです。
また、ある数が作られると、その数の左斜め下にある数はすべて作ることができます（☆）。左斜め下方向は、５ずつ増えるからです。
まず、１、２、４は明らかに作ることができませんね。いずれの数も３で割り切れないため、５ｍの棒を使う必要があるのですが、５よりも小さい数を５ｍの棒を使って作ることはできないからです。
また、明らかに３、５、６（３＋３）は作ることができますね。
そして、（★）と（☆）を使うことにより、残りの数のうち作ることができる可能性があるのは、７のみとなりますが、実際に作ることは不可能です。なぜなら、５を使うと、残りは２となり、明らかに不適当ですし、５を使わないとすると、７は３で割り切れないため、やはり不適当だからです。
以上より、３と５で作ることができない最大の□は、７だとわかりました。
よって、求める答えは、
８＋７＝１５ｍ
となります。
本問では不要ですが、作ることができない長さは、次の１１個のみです。
１、２、３、４、５、６、７ｍ ←８以下だから、無理ですね！
８＋１＝９ｍ ←図から、無理だとわかりましたね。
８＋２＝１０ｍ ←図から、無理だとわかりましたね。
８＋４＝１２ｍ ←図から、無理だとわかりましたね。
８＋７＝１５ｍ ←図から、無理だとわかりましたね。
甲南中学校２０００年算数２日目第３問と大阪大学２０００年前期理系数学第３問にもぜひチャレンジしてみましょう。
