甲陽学院中学校１９９９年算数２日目第５問（解答・解説）
問題の意味がわからなければ、生徒４人とか５人とか実験するといいでしょう。
（１）
最も多く受け取った生徒のカードの枚数が２８枚のとき、生徒全員が受け取ったカードの枚数の理論的な最大値は２８×３０＝８４０枚（全員が２８枚受け取る場合）ですね。
そして、３０人の生徒が外側を向いて環状に並び、自分の右隣の生徒以外のすべての生徒とカードを交換すれば、上の理論的な最大値を実際に取ります。
また、最も多く受け取った生徒のカードの枚数が２８枚のとき、少なくとも２８人の生徒は１枚のカードを受け取っています。
そして、それ以外のカードの交換がなければ、生徒全員が受け取ったカードの枚数の合計は最小（２８＋１×２８＝５６枚）となります。
以上より、生徒全員が受け取ったカードの枚数の合計は５６枚から８４０枚までであると考えられます。
（２）（３）
カードを１枚も受け取らない生徒がいるとき、最も多くのカードを受け取った生徒は自分とカードを１枚も受け取らない生徒以外のすべての生徒２８人とカードを交換することができます。
したがって、この場合、各生徒（３０人）の受け取ったカードの枚数は、０枚以上２８枚以下の２９通りとなるから、少なくとも２人は同じ枚数のカードを受け取ることになります。
また、カードを２９枚受け取った生徒がいる（カードを１枚も受け取らない生徒がいない）とき、各生徒（３０人）の受け取ったカードの枚数は１枚以上２９枚以下の２９通りとなるから、少なくとも２人は同じ枚数のカードを受け取ることになります。
（参考）
鳩ノ巣原理（ディリクレの引き出し論法）
○、□を自然数（１以上の整数）とします。（○×□＋１）羽以上の鳩が○個の巣のいずれかに入っているとき、少なくとも１つの鳩の巣には（□＋１）羽以上の鳩が入っていることになります。
この問題は、○＝２９、□＝１、鳩＝各生徒、巣＝カードの場合ですね。