神戸女学院中学部２００７年算数第５問（解答・解説）
（１）
（解法１）
正六角形の６分割のイメージを利用すれば、一瞬で解けます。
影をつけた部分の三角形と図１の黄色の三角形は、底辺と高さが等しいから面積も等しくなります（影をつけた部分の三角形を等積変形すると、黄色の三角形になりますね）。
したがって、影をつけた部分の三角形の面積は、
正六角形の面積×２/６
＝４２×１/３
＝１４cm2
となります。
（解法２）
影をつけた部分の三角形は、図２の水色の三角形（正六角形の１/６の面積）と底辺が同じで、高さが２倍だから、面積も２倍となります。
したがって、影をつけた部分の三角形の面積は、
正六角形の面積×１/６×２
＝１４cm2
となります。
（２）
（解法１）
（１）の結果と対称性（線対称性）から、図３の黄緑色の部分の面積は、正六角形の面積の
（１−１/３）×１/２
＝１/３
となります。
また、オレンジ色の三角形は、オレンジ色と紫色を合わせた三角形（正六角形の６分割のイメージにより、正六角形の１/６となることはすぐにわかりますね）と底辺が同じで、高さが１/２倍だから、面積も１/２倍となります。
結局、影をつけた部分の面積は
正六角形の面積×（１/３−１/６×１/２）
＝４２×１/４
＝２１/２cm2
となります。
（解法２）
影をつけた部分の三角形は、図４の水色の三角形（正六角形の１/６の面積）と底辺が同じで、高さが３/２倍だから、面積も３/２倍となります。
したがって、影をつけた部分の三角形の面積は、
正六角形の面積×１/６×３/２
＝４２×１/４
＝２１/２cm2
となります。
（３）
（２）の（解法１）と同様の解法で解けますね。
影をつけた部分の三角形の面積は、
正六角形の面積×｛１−（１/３＋１/６＋１/１２）｝ ←図５を参照しましょう。
＝４２×５/１２
＝３５/２cm2
となります。
（４）
（１）〜（３）が利用できます。 ←この問題は、（１）から（４）まで非常にいい流れになっていますね。
まず、図のように赤紫色の補助線を引きます。
影をつけた部分の三角形と図６のクリーム色の三角形は高さが同じだから、面積比は、底辺の比（★：☆）となります。
★：☆がわかれば、（３）で求めた面積を比例配分するだけですね。
ところで、緑色の三角形（（１）で面積を求めた三角形）と赤色の三角形（（２）で面積を求めた三角形）は底辺が同じだから、面積比は、高さの比（★：☆と同じですね）と一致します。
したがって、
★：☆
＝（正六角形の１/３）：（正六角形の１/４） ←計算結果を利用してもいいですが、少し面倒でしょう。
＝１/３：１/４
＝４：３
となるから、影をつけた部分の面積は、
（３）で求めた三角形の面積×４/（４＋３）
＝３５/２×４/７
＝１０cm2
となります。
（参考）正六角形の分割・延長
上の図から、次の面積比がわかります。
