神戸女学院中学部２０２１年算数第６問（解答・解説）
（１）
様々な解法が考えられますが、ここでは、斜めの正三角形があることに着目し、大きな正三角形を作出して解きます。 ←斜めの正方形があるときに、大きな正方形を作出する解法と同じです。
大きな正三角形は１辺の長さが２＋５＝７cmで、その面積を７×７＝４９とすると、三角形ＡＢＣの面積は５×５＝２５となり、三角形ＢＣＦの面積は２×５＝１０となり、三角形ＦＣＨの面積は４９−１０×３＝１９となります。 面積比＝相似比×相似比と面積比＝底辺の比×高さの比を利用しました（以下同様）。
角度に記号をつけると、かげをつけた三角形と三角形ＢＣＦが相似であることが分かります。 ←（２）で使いますが、三角形ＢＣＦとＣＡＨが合同であることもわかりますね。なお、回転＋拡大・縮小では合同な図形ができることもしっかり押さえておきましょう。
その面積比はＣＨ×ＣＨ：ＢＣ×ＢＣ、つまり正三角形ＦＣＨの面積：三角形ＡＢＣの面積＝１９：２５となります。
したがって、求める面積は
１２５×１０/２５×１９/２５
＝３８cm2
となります。
（２）
（１）と同様にして解きます。
大きな正三角形は１辺の長さが４＋５＝９cmで、その面積を９×９＝８１とすると、三角形ＢＣＤの面積は４×５＝２０となり、三角形ＤＣＩの面積は８１−２０×３＝２１となります。
角度に記号をつけ、等しい辺にしるしをつける（省略）と、三角形ＢＣＤと三角形ＡＣＩが合同であることがわかり、（１）で述べた合同と合わせて考えると、ＨはＡＩの真ん中の点となり、三角形ＣＩＨの面積は、三角形ＢＣＤの面積の１/２、つまり三角形ＢＣＦの面積と等しくなります。
大きな正三角形の面積が８１と考えたとき、三角形ＤＩＨの面積は三角形ＤＩＡの面積の半分、つまり１×４×１/２＝２となり、ＨＪ：ＪＣ＝三角形ＤＩＨの面積：三角形ＤＣＩの面積＝２：２１となります。
したがって、求める面積は
１２５×１０/２５×２１/（２＋２１）
＝１０５０/２３cm2
となります。
