神戸女学院中学部１９９６年算数２日目第２問（解答・解説）
★面積（体積）を求める手法★
①直接求める～公式
三角形の面積公式、四角形（正方形、長方形、平行四辺形、台形、ひし形）の面積公式、円・扇形の面積公式、幅が一定の図形の面積公式（幅×中心線の長さ）を利用します。
体積の場合は、柱体の体積公式（底面積×高さ）、錐体の体積公式（底面積×高さ×１/３）、応用公式（三角柱を斜めに切断したもの、直方体をななめに切断したもの等）を利用します。
②「和」で求める～分割
直接求めることができないとき、面積を求める図形を適切に分割し、面積公式が使えるようにします。
大事なのは、分割されたそれぞれの面積がともに求まるようにすることです。
分割されたそれぞれの面積を個別に求め、最後に足し算します。
体積の場合も同様です。
③「差」で求める～復元
直接求めることができないとき、面積を求める図形に適切な図形を書き加え、面積公式が使えるようにします。大事なのは、書き加えた部分の面積・書き加えたあとの図形全体の面積がともに求まるようにすることです。最後に、書き加えた後の全体の面積から、書き加えた部分の面積を引き算します。
体積の場合も同様です。
④「比」で求める
相似比から面積比（相似比×相似比）を求めたり、高さ（縦）、底辺（横）の長さの等しい図形を見つけ、そこから面積比を出したりします。
体積の場合、相似比から体積比（相似比×相似比×相似比）を求めたり、高さ、底面積の等しい図形を見つけ、そこから体積比を出したりします。
なお、①～④を併用しなければならない問題もあります。
また、図形を移動（等積移動）したり、等積変形を用いたりした後、①～④を利用する問題もあります。
その他、「方眼紙」で求めるとか「たしすぎたらひく」（図形の重なりがある場合）などもあります。
★相似について★
２つの図形が相似の場合、対応する角が等しく、対応する辺の比が一定で等しくなります。
さて、問題を解いてみましょう。
（１）（解法１）△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ（△ＡＢＣと△ＡＣＤが相似ということです）を利用して直接求めるという方針で解きます。
△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ（相似比は、ＡＢ：ＡＣ＝５：４）だから、
ＡＤ＝ＡＣ×４/５＝４×４/５（cm）
ＣＤ＝ＢＣ×４/５＝３×４/５（cm） ←ＡＣ×３/５としてもいいでしょう。
しがって、求める面積（△ＡＣＤ）は ←∠ＣＤＡ＝９０°ですね。
（４×４/５）×（３×４/５）×１/２＝９６/２５（３と２１/２５）＝３．８４（cm2） ←小数で答えるつもりなら、１/２の２を約分せずに、分母と分子に２をかけ、分母を１００としてもいいでしょう。もちろん、３と２１/２５とした後に、２１/２５の分母と分子に４をかけ、分母を１００としてもいいでしょう。
（解法２）△ＡＢＣ∽△ＡＣＤを利用して「比」で求めるという方針で解きます。
△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ（相似比は、ＡＢ：ＡＣ＝５：４）だから、面積比は、
△ＡＢＣ：△ＡＣＤ＝５×５：４×４
したがって、求める面積（△ＡＣＤ）は
（３×４×１/２）×（４×４）/（５×５） （以下略）
（解法３）△ＡＢＣ∽△ＢＤＣ∽△ＡＤＢを利用して直接求めるという方針で解きます。本問では少し面倒ですが、練習のためにやってみます。
直角三角形の斜辺（直角の対辺）に下ろす垂線→直角三角形の相似の利用
△ＡＢＣ∽△ＢＤＣ∽△ＡＤＢだから、ＢＤ＝[１２]とすると、 ←あとで、１/４倍、１/３倍する（←ＢＤは、△ＡＤＢの場合は、「３」の長さ（一番短い長さ）に相当し、△ＢＤＣの場合は、「４」の長さ（中間の長さ）に相当するからです。）から、分数を避けるために４×３＝１２としました。
ＣＤ＝[１２]×３/４＝[９]
ＡＤ＝[１２]×４/３＝[１６]
[９]＋[１６]＝[２５]が５cmに相当するから、求める面積（△ＡＤＢ）は
ＡＤ×ＢＤ×１/２＝（５×[１６]/[２５]）×（５×[１２]/[２５]）×１/２ （以下略）
（解法４）△ＡＢＣ∽△ＢＤＣ∽△ＡＤＢを利用して「比」で求めるという方針で解きます。
ＣＤ＝[９]、ＡＤ＝[１６]、ＡＣ＝[２５]とするところまでは、（解法３）とまったく同様です。
求める面積（△ＡＤＢ）は、
＝△ＡＢＣ×ＡＤ/ＡＣ ←△ＡＤＢと△ＡＢＣは、高さが共通だから、面積比＝底辺の比
＝（３×４×１/２）×[１６]/[２５] （以下略）
（２）
（解法１）△ＡＢＣ∽△ＡＤＥを利用して直接求めるという方針で解きます。
（１）の図を見ると、△ＡＤＥの高さ（ＡＤを底辺と見ます）は、４cmだとわかります。
また、△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ（相似比は、ＢＣ：ＤＥ＝６：５）だから、
ＡＤ＝ＡＢ×５/６＝５×５/６（cm）
となります。したがって、求める面積（△ＡＤＥ）は
（５×５/６）×４×１/２＝２５/３（８と１/３）（cm2）
（解法２）△ＡＢＣ∽△ＡＤＥを利用して「比」で求めるという方針で解きます。
△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ（相似比は、ＢＣ：ＤＥ＝６：５）だから、面積比は、
△ＡＢＣ：△ＡＤＥ＝６×６：５×５
したがって、求める面積（△ＡＤＥ）は
（６×４×１/２）×（５×５）/（６×６）＝２５/３（８と１/３）（cm2） ←△ＡＢＣの高さ（６cmの辺を底辺と考えた場合）は、（１）の図を見ると、４cmだとわかります。
