神戸海星女子学院中学校２００４年算数第２問（解答・解説）
（１）
できた長方形の周囲の長さは、正方形のタイルの１辺の
８００/５
＝１６０個
分の長さに相当します。
したがって、長方形の一番外側のタイルは
１６０−４ ←例えば、縦に○枚、横に△枚（一番外側の周囲に（○＋△）×２枚）のタイルが並んでいる場合、一番外側のタイルの枚数は、○＋△＋○＋△−４＝（○＋△）×２−４（枚）となります。単純に１辺に並んでいるタイルの枚数を合計すると、四隅がダブるので、４枚引く必要があります。なお、「方陣算方式」で互い違いに数えて、（○−１）×２＋（△−１）×２とすることもできます。
＝１５６枚
となります。
（２）
長方形の長いほうの辺のタイルの枚数（○とします）と短い方の辺のタイルの枚数（△とします）の和が
１６０/２
＝８０枚
で、積が１５７５枚となるように、○と△を決めればいいですね。
○と△の積の一の位が５であるから、○と△の積は５の倍数（しかも、奇数）となり、○と△の少なくとも一方は、５の倍数（しかも、奇数）となります。
また、○と△の和が５の倍数（しかも、偶数）だから、一方が５の倍数（しかも、奇数）のとき、他方も５の倍数（しかも、奇数）となります。
○と△の組み合わせとして考えられるものは、次の４通りとなります。
（あ）○＝４５、△＝３５
（い）○＝５５、△＝２５
（う）○＝６５、△＝１５
（え）○＝７５、△＝５
１５７５を１６００ぐらいと大雑把（おおざっぱ）に考えて見当をつければ、（あ）か（い）の場合が答えだとすぐにわかりますが、ここでは、勉強のために、倍数判定法を利用して見当をつけてみます。
１５７５の各位の和が９の倍数だから、１５７５も９の倍数となります。この条件を満たすのは、○と△の一方が９の倍数であるか、○と△の両方が３の倍数の場合（○と△の和が３の倍数ではないので、実際には、この場合はありえませんね）しかありえませんが、この条件を満たすものは（あ）の場合しかありえません。
４５×３５
＝（４０＋５）×（４０−５） ←和と差の積が２乗の差となる（フェリス女学院中学校１９９８年算数第６問の解説を参照）ことを利用するために、このように変形します。
＝４０×４０−５×５
＝１５７５
となるので、確かに条件を満たしますね。
したがって、長方形の長いほうの辺の長さは
５×４５
＝２２５cm
となります。
