慶應義塾中等部２００４年算数第７問（解答・解説）
（１）
５２は、⑳２枚、⑩１枚、①２枚の合計５枚で作ることができます。
（２）、（３）
一の位の数で分類すると、規則性を見抜くことができ、機械的に処理できます。
以下、３桁のデジタル表示を使います。
（あ）
一の位の数が０（①０枚③０枚）のとき、⑩と⑳を合わせて１０枚使うことで０１０～２００まで２０通りの数を作ることができます。
（い）
一の位の数が１（①１枚③０枚）のとき、⑩と⑳を合わせて９枚使うことで００１～１８１まで１９通りの数を作ることができます。
一の位の数が２（①２枚③０枚）のとき、⑩と⑳を合わせて８枚使うことで００２～１６２まで１７通りの数を作ることができます。
一の位の数が３（①０枚③１枚）のとき、⑩と⑳を合わせて９枚使うことで００３～１８３まで１９通りの数を作ることができます。
（う）
このグループのそれぞれの場合は、（い）のそれぞれの場合と比べて③の枚数が１枚増え、その結果、⑳の枚数が１枚減り、場合が２通り減ります。
一の位の数が４（①１枚③１枚）のとき、⑩と⑳を合わせて８枚使うことで００４～１６４まで１７通りの数を作ることができます。
一の位の数が５（①２枚③１枚）のとき、⑩と⑳を合わせて７枚使うことで００５～１４５まで１５通りの数を作ることができます。
一の位の数が６（①０枚③２枚）のとき、⑩と⑳を合わせて８枚使うことで００６～１６６まで１７通りの数を作ることができます。
（え）
このグループのそれぞれの場合は、（う）のそれぞれの場合と比べて③の枚数が１枚増え、その結果、⑳の枚数が１枚減り、場合が２通り減ります。
一の位の数が７（①１枚③２枚）のとき、⑩と⑳を合わせて７枚使うことで００７～１４７まで１５通りの数を作ることができます。
一の位の数が８（①２枚③２枚）のとき、⑩と⑳を合わせて６枚使うことで００８～１２８まで１３通りの数を作ることができます。
一の位の数が９（①０枚③３枚）のとき、⑩と⑳を合わせて７枚使うことで００９～１４９まで１５通りの数を作ることができます。
（あ）～（え）より、表すことができる整数は、全部で
２０＋１９＋１７＋１９
＋１７＋１５＋１７
＋１５＋１３＋１５ ←実際には、（あ）の場合を調べた後、すぐにこの式を作ることができます。
＝２０＋４９×３ ←真ん中（１７＋１５＋１７）×個数（３）＝総和となることを利用しました。
＝１６７個
あります。
表すことができない数は、一の位の数が８のときに一番早く登場し、一の位の数が８で表される数は１２８までだから、表すことができない最小の整数は１３８となります。