慶應義塾普通部２０２０年算数第７問（解答・解説）
立方体の上に正四角すいを乗せた図形であることはすぐにわかりますね。
条件を満たすものを直接数えることもできますが、ここでは、正Ｎ角形の対角線の本数を数える際のある解法と同様の解法で解きます。
頂点は
８＋１ ←立方体の頂点の個数に正四角すいの１番上の頂点の個数を足すだけですね。
＝９個
あります。
この９個の頂点から２個の頂点の選び方は
（９×８）/（２×１）
＝３６通り
あります。
このうち、立体の辺となるような選び方（立体の辺の本数にほかなりませんね）を取り除く必要があります。
立体の辺の本数は
１２＋４ ←立方体の辺の本数に正四角すいの底面以外の辺の本数を足すだけですね。
＝１６本
あります。
したがって、求める本数は
３６−１６
＝２０本
となります。
（参考）正Ｎ角形の対角線の本数について
（解法１）
１つの頂点から他の頂点に対して（Ｎ−３）本の対角線が引けます。
頂点がＮ個あるから、（Ｎ−３）×Ｎ本引けそうですが、１つの対角線を２回ずつカウントしているので、その重複度で割った
（Ｎ−３）×Ｎ×１/２
が対角線の本数となります。
（解法２）
Ｎ個の頂点から２個選んで直線で結ぶと対角線か辺ができます。
異なるＮ個から２個選ぶ場合の数から辺の本数を引いた
Ｎ×（Ｎ−１）/（２×１）−Ｎ
が対角線の本数となります。
なお、（解法１）と（解法２）で式の見た目は異なりますが、同じ値になります。