灘高等学校２００６年数学第１問（３）（解答・解説）
いずれかの桁に０が現れる４桁の整数は、０の個数だけでも１、２、３個の３通りあり面倒ですね。
そこで、０をまったく使わない４桁の整数の個数を求めて、４桁の整数の個数から引いて求めます。 ←余事象を考えます。
４桁の整数は１０００以上９９９９以下だから、全部で
９９９９−９９９ ←整数は１から数えて余分なものを引いて求めます。なお、千の位が１〜９の９通りあり、そのそれぞれに対して、百の位、十の位、一の位がそれぞれ０〜９の１０通りあることから、９×１０×１０×１０としてもよいでしょう。
＝９０００個
あります。
０を全く使わない４桁の整数は
９×９×９×９
＝６５６１通り
あるから、いずれかの桁に０が現れる４桁の整数は
９０００−６５６１
＝２４３９個
あります。
４桁の整数の各桁に現れる数字の和は
１＋０＋０＋０
＝１以上 ←下限チェック！
９＋９＋９＋９
＝３６以下 ←上限チェック！
で、３２は３６に近いので、大きいほうから書き出します。
和が３２になる４整数の組み合わせは、（９，９，９，５）、（９，９，８，６）、（９，９，７，７）、（９，８，８，７）、（８，８，８，８）だけですね。
（９，９，９，５）は５がどこに来るかで４通りあります。
（９，９，８，６）は６がどこに来るかで４通りあり、そのそれぞれに対して８がどこに来るかで３通りあるから、４×３＝１２通りあります。
（９，９，７，７）は７がどこに来るかで（４×３）/（２×１）＝６通りあります。 ←組み合わせですね。
（９，８，８，７）は（９，９，８，６）同様、１２通りあります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らします。
（８，８，８，８）は１通りあります。
したがって、４桁の整数で各桁に現れる数字の和が３２となるものは
４＋１２＋６＋１２＋１
＝３５個
あります。
なお、少しわかりにくいかもしれませんが、次のように考えると、すぐに解けます。
４桁の整数の各位に９個のボールを配置し、０個から４個の範囲で合計４個のボール（ボール１個は１を表しています）を取り除くと考えます。
ボール４個としきり３個を並べる場合の数を考えればよいから、 ←左端のしきりまでが千の位から取り除かれるボールの個数、左端のしきりから真ん中のしきりまでが百の位から取り除かれるボールの個数、真ん中のしきりから右端のしきりまでが十の位から取り除かれるボールの個数、右端のしきりの右側が一の位から取り除かれるボールの個数と考えます。例えば、/○//○○○であれば、千の位の数は９−０＝９、百の位の数は９−１＝８、十の位の数は９−０＝９、一の位の数は９−３＝６となります。
（７×６×５）/（３×２×１） ←７か所からしきり３カ所の場所の選び方（組み合わせですね）を考えています。
＝３５個
あります。
このしきりの考え方で解ける問題（東京大学１９９６年後期理科第１問（２））をホームページで取り上げているので、ぜひ解いてみましょう。