筑波大学附属駒場高等学校２００５年数学第４問（解答・解説）
レプユニット数（各位の数がすべて１の整数）に関する問題です。
レプユニット数に関する問題は、東大でも出されたことがあります。
（１）
各位の数がすべて１の整数で３の倍数となるのだから、１が３の倍数個並んでいますね。 ←３の倍数判定法を利用しました。
したがって、最小のものは１１１で２番目に小さいものは１１１１１１となります。
これを（＊）のような等式で表すと、３×３７＝１１１、３×３７０３７＝１１１１１１となります。 ←３×３７＝１１１は覚えておきましょう。また、３×３７＝１１１１１１となることは、１１１１１１で１１１を塊と考えればすぐにわかりますね。
（２）
３３＝３×１１だから、各位の数がすべて１の整数で３、１１の倍数となるものを考えることになります。
３の倍数という条件から、（１）同様、１が３の倍数個並んでいなければいけませんね。
次に、１１の倍数という条件を考えます。
少し実験してみると、１が偶数個並んでいなければいけないことがわかります。 ←もちろん、１１の倍数判定法を利用すればすぐにわかりますね。
結局、１が６の倍数個並んでいるから、最小のものは１１１１１１となります。
因みに、２番目に小さいものは１１１１１１１１１１１１となります。
（３）
６３６３を素因数分解します。
６３６３＝６３×１０１＝７×９×１０１となるから、各位の数がすべて１の整数で７、９、１０１の倍数となるものを考えることになります。
まず、９の倍数という条件から、１が９の倍数個並んでいなければいけませんね。 ←９の倍数判定法を利用しました。
次に、１０１の倍数という条件を考えます。
１０１×１１＝１１１１で、１、１１、１１１が１０１で割り切れないことから、１が４の倍数個並んでいなければいけませんね。
最後に、７の倍数という条件を考えます。
７×１１×１３＝１００１で、１００１×１１１＝１１１１１１で、１、１１、１１１、１１１１、１１１１１が７で割り切れないことからから、１が６の倍数個並んでいなければいけませんね。 ←７×１４２８５７＝９９９９９９（＝１１１１１１×９）となることを覚えていれば、すぐに思いつきますね。
結局、１が９、６、４の最小公倍数個、つまり３６の倍数個並んでいなければいけないので、最小のものは１が３６個並んだ数、つまり３６桁の数となります。
（参考１）
実用的な倍数判定法は次の通りです。
２の倍数→下１桁（一の位）が２の倍数（０も含む）
３の倍数→各位の和が３の倍数
４の倍数→下２桁が４の倍数（００も含む）
５の倍数→下１桁（一の位）が０か５
８の倍数→下３桁が８の倍数（０００も含む）
９の倍数→各位の和が９の倍数
１１の倍数→各位の数から１つおきにとった数の合計の差が１１の倍数（０も含む）
なお、１１１を素因数分解すると３×３７となるから、「３７の倍数→一の位から３桁ごとに区切った数の和が３７の倍数」という３７の倍数判定法が得られますし、１１１１１を素因数分解すると４１×２７１となるから、「４１の倍数→一の位から５桁ごとに区切った数の和が４１の倍数」という４１の倍数判定法が得られます。９の倍数判定法や１１の倍数判定法と同様の方法で示すことができるのでぜひやってみましょう。
（参考２）
１×１＝１
１１×１１＝１２１
１１１×１１１＝１２３２１
１１１１×１１１１＝１２３４３２１
１１１１１×１１１１１＝１２３４５４３２１
１１１１１１×１１１１１１＝１２３４５６５４３２１
１１１１１１１×１１１１１１１＝１２３４５６７６５４３２１
１１１１１１１１×１１１１１１１１＝１２３４５６７８７６５４３２１
１１１１１１１１１×１１１１１１１１１＝１２３４５６７８９８７６５４３２１
１１１１１１１１１１×１１１１１１１１１１＝１２３４５６７８９[１０]９８７６５４３２１（真ん中の位のところが１０になるので、繰り上がりが生じて、１２３４５６７９００９８７６５４３２１