慶應義塾志木高等学校２０１７年数学第１問（３）（解答・解説）
答えを１つ求めればよいのであれば、部分分数分解をイメージすればｍ＝８とすればよいことがすぐにわかるので、数秒で答えが出せるでしょう。
１/７−１/８＝１/５６だから、ｍ＝８、ｎ＝５６となります。
きっちり解くのであれば、次のようにすればよいでしょう。
ｍ＜ｎより、１/ｍは１/ｎより大きくなるので、１/ｍは１/７×１/２＝１/１４より大きくなります。
結局、１/ｍは１/１４より大きく、１/７より小さくなるので、ｍは８以上１３以下の整数となります。
すべてを調べつくすと、ｍ＝８のみ適することがわかり、ｎ＝５６となります。 ←この問題の場合、実際は調べつくす必要はありません。分母の７と約分できる可能性のある数字は７の倍数だけですが、８以上１３以下の整数に７の倍数がないため約分できる可能性がなく、分子を１にするためには、分母の差が１の分数とするほかないからです。
なお、中学生以降であれば、分母を払って因数分解を利用して解くこともできます。