灘高等学校２０１８年数学第１問（２）（解答・解説）
Ｄを通り△ＡＢＣの面積を２等分する直線は辺ＡＢと交わらず、辺ＡＣと交わります（交点をＧとします）。 ←仮に辺ＡＢと交わるとすると、一方の面積は最大（交点がＡのとき）でも△ＡＢＣの面積の１/４にしかならないからです。
同様に、Ｆを通り△ＡＢＣの面積を２等分する直線は辺ＡＣと交わらず、辺ＡＢと交わります（交点をＨとします）。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
図は次のようになります。
三角形ＣＧＤの面積
＝三角形ＡＢＣの面積×ＣＤ/ＣＢ×ＣＧ/ＣＡ
＝三角形ＡＢＣの面積×３/４×ＣＧ/ＣＡ
だから、３/４×ＣＧ/ＣＡ＝１/２となり、ＣＧ/ＣＡ＝１/２×４/３＝２/３となります。
同様に、ＢＨ/ＢＡ＝２/３となります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
三角形ＡＨＧと三角形ＡＢＣのピラミッド相似（相似比はＡＧ：ＧＣ＝（１−２/３）：１＝１：３に着目すると、ＨＧ：ＢＣ＝１：３となり、ＨＧ：ＤＦ＝１/３：２/４＝２：３となります。
三角形ＰＧＨと三角形ＰＤＦのちょうちょ相似（相似比はＧＨ：ＤＦ＝２：３）に着目すると、ＰＧ：ＰＤ＝２：３となります。
したがって、三角形ＰＤＦの面積は
三角形ＣＧＤの面積×ＤＦ/ＤＣ×ＤＰ/ＤＧ
＝１２０×１/２×２/３×３/（２＋３）
＝２４
となります。
