開成高等学校２０１５年数学第４問（解答・解説）
一般に、次のことが成り立ちます（神戸女学院中学部１９９５年算数２日目第４問の解答・解説を参照）。
約数が１個の整数・・・１
約数が２個の整数・・・素数
約数が３個の整数・・・素数の２乗（同じ素数２個の積）
約数が奇数個の整数・・・平方数
このことを利用して解きます。
（１）
１８０＝２×２×３×３×５ ←九九の逆などを利用して素早く素因数分解しました。
だから、
＜１８０＞
＝３×３×２ ←約数の個数の求め方については、神戸女学院中学部１９９５年算数２日目第４問の解答・解説を参照
＝１８
となります。
また、１８＝２×３×３だから、
＜＜１８０＞＞
＝＜１８＞
＝２×３
＝６
となります。
（２）
６の約数のペアは１、６と２、３だから、素因数が１種類の場合（□×□×□×□×□（□は素数）の場合）と２種類の場合（□×〇×〇（□と〇は異なる素数）の場合）が考えられます。
３の倍数であるものを考えるのだから、素因数３を少なくとも１つ含む場合を考えることになります。
（あ）素因数が１種類の場合（□×□×□×□×□（□は素数）の場合）
□は３となりますが、５０以上１００以下の整数という条件を満たさないので、この場合はありません。
（い）素因数がと２種類の場合（□×〇×〇（□と〇は異なる素数）の場合）
□＝３のとき、〇×〇は５０/３＝１６．・・・以上、１００/３＝３３．・・・以下だから、３×５×５＝７５だけが条件を満たします。 ←上限チェック！下限チェック！
〇＝３のとき、□は５０/（３×３）＝５．・・・以上１００/（３×３）＝１１．・・・以下だから、７×３×３＝６３、１１×３×３＝９９だけが条件を満たします。
したがって、求める３つの数は６３、７５、９９となります。
（３）
約数が２個の整数は素数だから、＜ｙ＞は問題文に与えられた２５個の素数のいずれかとなります。
ｙは素数でないことから、＜ｙ＞＝２となりえず、結局、＜ｙ＞は問題文に与えられた２５個の素数のうち２以外のものとなります。
＜ｙ＞＝△のとき、△が素数であることから、ｙはある素数を（△−１）個かけ合わせたものとなります。
２を（１１−１）個かけ合わせた数は１０２４となり、１００より大きくなるから、△は７以下となります。 ←上限チェック！
△＝７のとき、２×２×２×２×２×２＝６４だけが条件を満たしますね。
△＝５のとき、２×２×２×２＝１６、３×３×３×３＝８１だけが条件を満たします。
△＝３のとき、２×２＝４、３×３＝９、５×５＝２５、７×７＝４９だけが条件を満たします。
したがって、条件を満たすｙは４、９、１６、２５、４９、６４、８１となります。
（４）
約数が３個の整数は素数の平方数となるものだから、＜ｚ＞＝△×△（△は素数）となります。
２を１０個かけ合わせた数ですら２００を超えるので、＜ｚ＞＝５×５＝２５以上となることはありえませんね。 ←上限チェック！
結局、＜ｚ＞＝２×２＝４または３×３＝９となります。
（Ａ）＜ｚ＞＝４の場合
４の約数のペアは１、３と２、２だから、素因数が１種類の場合（□×□×□（□は素数）の場合）と２種類の場合（□×〇（□と〇は異なる素数）の場合）が考えられます。
２の倍数であるものを考えるのだから、素数のうち唯一の２の倍数である素因数２を少なくとも１つ含む場合を考えることになります。
（あ）素因数が１種類の場合（□×□×□（□は素数）の場合）
２×２×２＝８の１個だけが条件を満たします。
（い）素因数が２種類の場合（□×〇（□と〇は異なる素数）の場合）
□＝２と考えればいいですね。
２×☆（☆は問題文に与えられた２５個の素数のうち２以外の２４個の素数）の２４個が条件を満たします。
この場合は、条件を満たすものが１＋２４＝２５個あります。
（Ｂ）＜ｚ＞＝９の場合
９の約数のペアは１、９と３、３だから、素因数が１種類の場合（□を９個かけ合わせた数（□は素数）の場合）と２種類の場合（□×□×〇×〇（□と〇は異なる素数）の場合）が考えられます。
２の倍数であるものを考えるのだから、素数のうち唯一の２の倍数である素因数２を少なくとも１つ含む場合を考えることになります。
（あ）素因数が１種類の場合（（□を９個かけ合わせた数（□は素数）の場合）
２を９個かけ合わせた数は５１２となるので、条件を満たしませんね。
（い）素因数が２種類の場合（□×□×〇×〇（□と〇は異なる素数）の場合）
□＝２と考えればいいですね。
〇×〇は２００/（２×２）＝５０以下となるから、〇×〇＝３×３、５×５、７×７の３個だけが条件を満たします。
この場合は、条件を満たすものが３個あります。
以上（Ａ）、（Ｂ）より、条件を満たすｚは２５＋３＝２８個あります。