灘高等学校２０１６年数学第３問（解答・解説）
（１）
与えられた式から、xと１０−xの積は３の倍数となります。
xと（１０−x）の和１０は３で割り切れないから、xと１０−xのどちらか一方だけが３の倍数となります。
まず、xが３の倍数となるときについて考えます。
x １０−x y
３ ７ ７
６ ４ ８
９ １ ３
次に、１０−xが３の倍数となるときについて考えます。
上で書き出したもののxと１０−xの立場を入れ替えたものになります。
１０−x x y
３ ７ ７
６ ４ ８
９ １ ３
したがって、条件を満たす（x，y)は、（３，７）、（６，８）、（９，３）、（７，７）、（４，８）、（１，３）となります。
（２）
４桁の整数の上２桁の数を□（□は２桁の数）、下２桁の数を△（△は２桁以下の数）とすると、
□×１００＋△＝□×□＋△×４０
□×１００−□×□＝△×３９ ←（１）と同様の形に持ち込むため、両辺から□×□と△を取り除きました。
□×（１００−□）＝△×３９ ←分配法則の逆を利用しました。
となり、□×（１００−□）は３でも１３でも割り切れる数となります。
□と１００−□の和１００は３でも１３でも割り切れないから、３の倍数となるのは□と１００−□のどちらか一方だけであり、１３の倍数についても同様です。
まず、□が１３の倍数となるときについて考えます。 ←個数の少ない１３の倍数について考えました。
□が３で割り切れるときは１００−□が何であっても条件を満たします。また、□が３で割ると１余るときは１００−□が３で割り切れ、条件を満たします。それに対して、□が３で割ると２余るときは１００−□が３で割れず、条件を満たしません。
このことを頭に入れておきながら書き出していきます。
□ １００−□ △
１３ ８７ 〇 ２９ ←△を求める際、積一定（反比例）を利用するとよいでしょう。
２６ ７４ ×
３９ ６１ 〇 ６１
５２ ４８ 〇 ６４
６５ ３５ ×
７８ ２２ 〇 ４４
９１ ９ 〇 ２１
次に、１００−□が１３の倍数となるときについて考えます。
上で書き出したものの□と１００−□の立場を入れ替えたものになります。
１００−□ □ △
１３ ８７ 〇 ２９
２６ ７４ ×
３９ ６１ 〇 ６１
５２ ４８ 〇 ６４
６５ ３５ ×
７８ ２２ 〇 ４４
９１ ９ 〇 ２１ ←□が１桁になってしまいますね。
したがって、条件を満たす４桁の整数は１３２９、３９６１、５２６４、７８４４、９１２１、８７２９、６１６１、４８６４、２２４４となります。