筑波大学附属駒場高等学校２０１５年数学第２問（解答・解説）
４０÷３
＝１３・・・１
だから、Ａ、Ｂの袋の中には、それぞれ
（あ）３の倍数の数の玉が１３個
（い）３で割ると１余る数の玉が１４個
（う）３で割ると２余る数の玉が１３個
あります。
（１）
すべての取り出し方は
４０×４０
＝１６００通り
あります。
積が３で割り切れない場合は、Ａ、Ｂからともに（あ）以外の玉を取り出したときだから、その取り出し方は
（４０−１３）×（４０−１３）
＝２７×２７
＝９×８１
＝７２９通り
あります。
したがって、積が３の倍数となる取り出し方は
１６００−７２９
＝８７１通り
あります。
（２）
Ａから（あ）の玉を取り出してはいけませんね。
Ａから（い）の玉を取り出したとき、Ｂからも（い）の玉を取り出すことになります。 ←３で割ると商が〇で余りが□の数（３×〇＋□）と３で割ると商が△で余りが☆の数（３×△＋☆）の積を３で割ったときの余りが□×☆を３で割ったときの余りと一致することは面積図をイメージすればすぐにわかります（以下同様です）。
Ａから（う）の玉を取り出したとき、Ｂからも（う）の玉を取り出すことになります。
したがって、積が３で割って１余る数となる取り出し方は
１４×１４＋１３×１３
＝１９６＋１６９
＝３６５通り
あります。
（３）
積が６で割ると１余る数となる場合、必ず積が３で割ると１余る数となっているので、（３）の場合は、（２）の場合の一部となります。
そこで、（い）、（う）を６で割った余りで分類しなおします。
（い）→（え）６で割ると１余る数の玉が７個
（お）６で割ると４余る数の玉が７個
（う）→（か）６で割ると２余る数の玉が７個
（き）６で割ると５余る数の玉が６個
６で割ると１余る数は奇数だから、Ａ、Ｂから（え）、（き）の玉を取り出すことになります。
Ａから（え）の玉を取り出したとき、Ｂからも（え）の玉を取り出すことになります。
Ａから（き）の玉を取り出したとき、Ｂからも（き）の玉を取り出すことになります。
したがって、積が６で割って１余る数となる取り出し方は
７×７＋６×６
＝４９＋３６
＝８５通り
あります。