筑波大学附属駒場高等学校２０１６年数学第２問（解答・解説）
４桁の整数のものが２００４年の算数オリンピックの予選で出されていますが、それを５桁になって、親切すぎる誘導がついています。
①、②の条件より、５桁の自然数の最大のもの（edcba）と最小のもの（abcde）の差は
５１６２４＋３１３３８
＝８２９６２
となります。
（１）
８２９６２の一万の位を見比べると、e＝９、a＝１となり、e－a＝８となります。
（２）
百の位が９となっていることから、千の位から１繰り下がっていることがわかります。
したがって、d－b＝３となります。
（３）
②より、ｘの一の位の数は８＋９＝１７の一の位の数７となります。
（４）
d－b＝３を満たすd、bの組み合わせは（d,b）＝（９，６）、（８，５）、（７，４）、（６，３）、（５，２）、（４，１）が考えられますが、このうち２番目に大きい数dが７未満のものは７が存在しえないことになり条件を満たしません。
また、e＝９だから、９を含むものも条件を満たしません。
結局、（d,b）＝（８，５）、（７，４）となります。
（d,b）＝（８，５）のとき、c＝７となりますが、②より、
ｘ
＝３１３３８＋１５７８９
＝４７１２７
となり、同じ数７があるから条件を満たしません。
（d,b）＝（７，４）のとき、cは４より大きく、７より小さい整数、つまり、５か６となります。
c＝５のとき、②より、
ｘ
＝３１３３８＋１４５７９
＝４５９１７
となり、条件を満たします。
c＝６のとき、②より、
ｘ
＝３１３３８＋１４６７９
＝４６０１７
となり、０があるから条件を満たしません。
したがって、５桁の自然数ｘは４５９１７となります。