筑波大学附属駒場高等学校２０１７年数学第２問（解答・解説）
（１）
３０を素因数分解すると、２×３×５となるから、ｎは２でも３でも５でも割り切れない数となります。 ←個数だけであれば、３０×１/２×２/３×４/５＝８個とすぐに求められます。
２、３、５で割り切れる数はそれぞれ２個、３個、５個ごとに現れるので、２でも３でも５でも割り切れない数は３０（２と３と５の最小公倍数）個ごとに現れます。
そこで、小さいほうから３０個書き出して調べます。
横に６個ずつ数を並べ、２の倍数、３の倍数を縦方向に消して、５の倍数を左斜め下方向に消していきます。
残った８個の数だけが条件を満たすことがわかります。
答えは １、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９となります。
（２）
（１）で書き出した際の状況から、３０との最大公約数が１となる整数の候補は、６で割ると１か５余るものとなります。
１００は６で割ると４余る数だから、ｎ、ｍはともに６で割ると５余る数となります。 ←ｎ、ｍそれぞれについて６で割った余りは２通り考えられるから、２×２＝４通りを調べつくすだけです。
６で割ると５余る数で５で割り切れないものを書き出すと、次のようになります。
９５×、８９、８３、・・・、５９、５３、４７、４１、・・・、１７、１１ ←接近した数と離れた数が必要なので、その部分だけ書き出しました。
ｍ−ｎの値が大きいものから２つの（ｎ，ｍ）は（１１，８９）、（１７，８３）となり、ｍ−ｎの値が小さいものから２つの（ｎ，ｍ）は（４７，５３）、（４１，５９）となります。
（３）
３０ごとに条件を満たします。
２０１７÷３０
＝６７・・・７
だから、数を書き出すと次のようになります。
[１] １ ７ 11 13 17 19 23 29
・・ ・・・・・・・・・・・・・・・・
[67] 〇 〇 〇 〇 〇 〇 ◎ □
[68] ☆ △
（△＝２０１７、☆＝２０１１、□＝２００９）
条件を満たす数が１セット（３０個）に８個あり、半端の７個に２個あるから、全部で
８×６７＋２
＝５３８個
あります。
次に、半端でない部分に関しては倍数（倍数でないもの）が対称に並んでいることに着目して和を計算します。
１＋□＝７＋◎＝・・・＝２０１０
となり、２個で２０１０だから、５３６個では
２０１０×５３６×１/２
＝５３８６８０
となります。
したがって、求める和は
５３８６８０＋２０１１＋２０１７
＝５４２７０８
となります。
（別解）
１セットごとの和が等差数列になっていることに着目して和を求めます。
[１]の和は１２０
[２]の和は１２０＋３０×８
[３]の和は１２０＋３０×８×２
・・・・・・・・・・・・・・・
[67]の和は１２０＋３０×８×６６
だから、求める和は
（１２０＋１２０＋３０×８×６６）×６７×１/２＋２０１１＋２０１７ ←等差数列の和の公式を利用しました。
＝５４２７０８
となります。
