慶應義塾志木高等学校２０２０年数学第７問（解答・解説）
高校で習う無限等比級数の和をモチーフにした問題です。
（１）
筆算を行うと、１/９９８＝０．００１００２００４００８０１６・・・というようになり、小数点以下は、３個ごとに初項（初めの数）１、公比２の等比数列（２の累乗）のデジタル表示になっています（ただし、繰り上がりのあるところでは、別途処理が必要です）。 ←筆算を行うというのは建前の話で、実際には、商が初めて０でない数の位を１と求めた後は、１０００−９９８＝２、１０００×２−９９８×２＝２×２＝４、１０００×４−９９８×４＝４×２＝８、１０００×８−９９８×８＝８×２＝１６、・・・というようにしています。
小数第１３位から小数第１５位までは１５/３＝５セット目で２の４乗となり、０１６となります。
小数第２８位から小数第３０位までは３０/３＝１０セット目で２の９乗となり、５１２となりそうですが、１１セット目の２の１０乗（１０２４）の１を５１２の一の位に足さないといけません。
したがって、小数第２８位から小数第３０位までは５１３となります。
なお、小数第２８位以降の様子を少し書き出すと次のようになります。
５１２０００００００００００００００
００１０２４００００００００００００
０００００２０４８０００００００００
００００００００４０９６００００００
０００００００００００８１９２０００
＋０００００００００００００１６３８４
５１３０２６０５２１０４２０８・・・
２の累乗の桁が増えると、１つ下の位からだけでなく、さらに下からの繰り上がりに注意する必要があり、例えば、小数第４０位の数は１ではなく、２になりますね。
（２）
筆算を行うと、５/９９９９７＝０．００００５０００１５０００４５００１３５・・・というようになり、５個ごとに初項５、公比３の等比数列のデジタル表示になっています（ただし、繰り上がりのあるところでは、別途処理が必要ですが、この問題では関係ありません）。 ←筆算を行うというのは建前の話で、実際には、商が初めて０でない数の位を５と求めた後は、１０００００×５−９９９９７×５＝５×３＝１５、１０００００×１５ー９９９９７×１５＝１５×３＝４５、１０００００×４５−９９９９７×４５＝４５×３＝１３５、・・・というようにしています。
小数点以下を書き出すと次のようになります。
００００５
０００１５
０００４５
００１３５
・・・・・
０□△☆◎（□、△、☆、◎に０がなければ、この部分からが答えになります。）
１・・・・
・・・・・
初項５、公比３の等比数列が初めて１００００以上になる場合を考えます。
１００００/５＝２０００で、３の６乗＝９×９×９＝７２９＜２０００、３の７乗＝２１８７＞２０００だから、ここをチェックします。
７２９×５＝３６４５（これが□△☆◎で、最後の５が小数第７×５＝３５位の数ですね）で、２１８７×５＝１０９３５だから、小数点以下で０でない数が初めて５個以上並ぶのは、小数第３２位からで、それは３６４５１となります。