開成高等学校２０２０年数学第３問（解答・解説）
以下、Ａ、Ｂの十の位の数をそれぞれ□、△とします。
（１）
面積図を思い浮かべると、Ａ×Ｂは□×△×１００＋□×７０＋△×７０＋４９となります。□×７０＋△×７０＋４９は７で割り切れ、１００は７で割り切れないから、□×△が７で割り切れることになり、□と△の少なくとも一方が７で割り切れることになります。
すべての場合から、□も△も７で割り切れない場合を引けばいいですね。
条件を満たすＡ、Ｂの組は、
９×９−８×８
＝１７組
あります。
（２）
面積図を思い浮かべると、Ａ×Ｂは□×△×１００＋□×６０＋△×６０＋３６となります。□×６０＋△×６０＋３６は６で割り切れ、１００は２で割り切れるが３では割り切れないから、□×△が３で割り切れることになり、□と△の少なくとも一方が３で割り切れることになります。
すべての場合から、□も△も３で割り切れない場合を引けばいいですね。
条件を満たすＡ、Ｂの組は、
９×９−６×６
＝４５組
あります。
（３）
Ａ、Ｂの一の位の数がともに１、２、３、４、５、８、９の場合について、（１）、（２）と同様の作業を行います。
Ａ、Ｂの一の位の数がともに１、２、４、５の場合はすべて条件を満たしますね。 ←１、２、５の場合はそれぞれの数の倍数関係から自明で、４の場合はＡもＢも偶数となることから自明でしょう。
いずれの場合も９×９＝８１組あります。
Ａ、Ｂの一の位の数がともに３の場合について考えます。
（１）、（２）と同様に考えると、□×△×１００の部分が３で割り切れればよく、（２）同様４５組あります。
Ａ、Ｂの一の位の数がともに８の場合について考えます。
（１）、（２）と同様に考えると、□×△×１００の部分が８で割り切れればよく、１００は４で割り切れるが８では割り切れないので、□×△が２で割り切れることになり、□と△の少なくとも一方が２で割り切れることになります。
すべての場合から、□も△も２で割り切れない場合を引けばいいですね。
条件を満たすＡ、Ｂの組は、
９×９−５×５
＝５６組
あります。
Ａ、Ｂの一の位の数がともに９の場合について考えます。
（１）、（２）と同様に考えると、□×△×１００の部分が９で割り切れればよく、１００は３で割り切れないので、□×△が９で割り切れることになります。
□と△の少なくとも一方が９の場合は
９×２−１ ←□が９の場合も、△が９の場合もそれぞれ９通りありますが、□も△も９の場合がダブルカウントされていることに注意しましょう。
＝１７通り
あり、□も△も９でない場合は、□も△も３か６となるので、
２×２
＝４通り
あります。
したがって、条件を満たすＡ、Ｂの組は
１７＋４
＝２１組
あります。
以上より、条件を満たすＡ、Ｂの組は全部で
１７＋４５×２＋８１×４＋５６＋２１
＝５０８組
あります。