洛南高等学校２０１９年数学第４問（解答・解説）
（１）
各桁の数字のどの２つの数の和も等しくなるのは、各桁の数がすべて等しいときですね。
各位の数は１〜９の９通りあるので、条件を満たす数は９個あります。
（２）
各位の数の和が３の倍数となるのは、３桁の整数が３の倍数となるときですね。
１００以上９９９以下の
９９９−９９
＝９００個
の連続整数の中には３の倍数が３個に１個の割合で登場するから、条件を満たす数は９００×１/３＝３００個あります。
（３）
Ｂの組み合わせとして考えられる２数は４と０、３と１、２と２となります。
（あ）４と０の場合
各位の数のうち残りのものは最小でなければならず、０となります。
したがって、この場合は４００の１個だけ条件を満たします。
（い）３と１の場合
各位の数のうち残りのものは最小でなければならず、０か１となります。
各位の数が３、１、０の場合、百の位の数が２通りあり、そのそれぞれに対して十の位の数が２通りあり、一の位の数は１通りに定まるから、条件を満たすものは２×２＝４個あります。 ←まず選び出し、あとで並べ替えを考えます（以下同じ）。
各位の数が３、１、１の場合、３がどのくらいの数になるかで３通りあるから、条件を満たすものは３個あります。
（う）２と２の場合
各位の数のうち残りのものは最小でなければならず、０か１か２となります。
各位の数が２、２、０の場合、０がどのくらいの数になるかで２通りあるから、条件を満たすものは２個あります。
各位の数が２、２、１の場合、１がどのくらいの数になるかで３通りあるから、条件を満たすものは３個あります。
各位の数が２、２、２の場合、条件を満たすものは２２２の１個だけですね。
（あ）〜（う）より、条件を満たす数は
１＋４＋３＋２＋３＋１
＝１４個
あります。
（４）
３桁の整数の各位の数を大きくない順に〇、△、□（０≦〇≦△≦□≦９、□≧１）とすると、Ａ＝〇＋△＋□、Ｄ＝〇＋△、Ｂ＝△＋□となります。
このこととＡ＋Ｄ＝Ｂ×２より
〇＋△＋□＋〇＋△＝△×２＋□×２
〇×２＝□
となります。
〇×２＝□ △
１ ２ １か２・・・３＋３＝６個 ←０がない場合、各位の数のうち２個だけが同じものは３個あり、各位の数がすべて異なるものは３×２×１＝６個あります（以下同じ）。以下、３と３の間に６が１個ずつ増えていくだけですね。
２ ４ ２〜４・・・３＋６＋３＝１２個
３ ６ ３〜６・・・３＋６＋６＋３＝１８個
４ ８ ４〜８・・・３＋６＋６＋６＋３＝２４個
したがって、条件を満たす数は
６＋１２＋１８＋２４
＝６０個
あります。