慶應義塾志木高等学校２０２０年第１問（２）（解答・解説）
与えられた式より
１８×１９×２０×２１＝ｍ2−１
１８×１９×２０×２１＝（ｍ＋１）×（ｍ−１） ←和と差の積が２乗の差となる（面積図を思い浮かべればわかりますね）ことを利用しました。
となるから、結局のところ、１８×１９×２０×２１の計算結果の約数のペアで差が２のものを求めるだけの問題です。
この２数の積は、ｍがある程度大きくなると平方数に近くなるので、平方数で見当をつけます。 ←まず大雑把に見当をつけ、あとで調整します。
１８×１９×２０×２１の数のバランスを考えて、とりあえず１９×２０と１８×２１を組み合わせてみると、それぞれ３８０、３７８となり、条件を満たすことが分かります。
したがって、ｍ＝３７８＋１＝３７９となります。
なお、次のようにすることもできます。
１８×１９×２０×２１を「九九の逆」を利用して素因数分解すると、２×２×２×３×３×３×５×７×１９となります。
ｍ＋１とｍ−１の差が２だから、この２数の偶奇は一致し、この２数の積が偶数であることから、この２数はともに偶数であることが分かります。
また、差が２の２数がともに３の倍数となることはありません。
２７×１９×２の倍数が条件を満たさないことは明らかだから、一方が２７×２×〇、他方が１９×２×□（〇×□＝２×５×７）となります。
あとは、〇と□に対する素因数２、５、７の割り振りを考えればよいでしょう（以下略）。