筑波大学附属駒場高等学校１７年第２問（解答・解説）
ルジャンドルの定理にまつわる有名問題です。
（１）
０が並ぶ個数は、１０（２×５）で割り切れる（商は整数の範囲で考えます）回数です。
２で割り切れる回数よりも５で割り切れる回数のほうが明らかに少ないので、５で割り切れる回数を考えれば足ります。
以下の割り算では、「５と２は仲良し」（５×２＝１０、２５×４＝１００、１２５×８＝１０００、・・・）を利用して暗算で計算しています。
１から２０１２までの５の倍数の個数は[２０１２÷５]＝４０２個 ←[○]は、○を超えない最大の整数を表します。
１から２０１２までの２５（５×５）の倍数の個数は[２０１２÷２５]＝８０個
１から２０１２までの１２５（５×５×５）の倍数の個数は[２０１２÷１２５]＝１６個
１から２０１２までの６２５（５×５×５×５）の倍数の個数は[２０１２÷６２５]＝３個
１から２０１２までの３１２５（５×５×５×５×５）の倍数の個数はあきらかに０個
だから、１から２０１２までの整数をかけあわせた数は、一の位から０が
４０２＋８０＋１６＋３ ←例えば、２５の倍数は、５の倍数と２５の倍数のところでカウントされていますが、実際、５で２回割り切れるので、ちょうどよくなりますね。
＝５０１個
と並んでいることになります。
（２）
（１）と同様にして解くだけです。
その際、（１）の計算結果を利用すれば暗算で求められるでしょう。
１から４０２４までの５の倍数の個数は[４０２４÷５]＝８０４個
１から４０２４までの２５（５×５）の倍数の個数は[４０２４÷２５]＝１６０個
１から４０２４までの１２５（５×５×５）の倍数の個数は[４０２４÷１２５]＝３２個
１から４０２４までの６２５（５×５×５×５）の倍数の個数は[４０２４÷６２５]＝６個
１から４０２４までの３１２５（５×５×５×５×５）の倍数の個数は[４０２４÷３１２５]＝１個
１から４０２４までの１５６２５（５×５×５×５×５×５）の倍数の個数はあきらかに０個
だから、２０１３から４０２４までの整数をかけあわせた数は、一の位から０が
８０４＋１６０＋３２＋６＋１−５０１
＝５０２個
と並んでいることになります。
（３）
（１）、（２）の結果と２０１２が５０１の４倍ぐらいであることから、答えが２０１２×４＝８０４８あたりだと見当がつきますね。
１から８０４８までの５の倍数の個数は[８０４８÷５]＝１６０９個
１から８０４８までの２５（５×５）の倍数の個数は[８０４８÷２５]＝３２１個
１から８０４８までの１２５（５×５×５）の倍数の個数は[８０４８÷１２５]＝６４個
１から８０４８までの６２５（５×５×５×５）の倍数の個数は[８０４８÷６２５]＝１２個
１から８０４８までの３１２５（５×５×５×５×５）の倍数の個数は[８０４８÷３１２５]＝２個
１から８０４８までの１５６２５（５×５×５×５×５×５）の倍数の個数はあきらかに０個
だから、１から８０４８までの整数をかけあわせた数は、一の位から０が
１６０９＋３２１＋６４＋１２＋２
＝２００８個
と並んでいることになり、５で割り切れる回数を２０１２−２００８＝４個増やす必要があります。
８０５０・・・５で２回だけ割り切れます。
８０５５・・・５で１回だけ割り切れます。
８０６０・・・５で１回だけ割り切れます。
したがって、１から８０６０までの整数をかけあわせたときにはじめて一の位から０が２０１２個並び、６０６４までの整数をかけても０の個数は変わらず、８０６５までかけてしまうと０の個数が増えてしまうから、答えは８０６０、８０６１、８０６２、８０６３、８０６４となります。