灘高等学校２０２４年数学第１問（４）（解答・解説）
縦、横、斜めの列のうち、いずれか少なくとも１列に３個の黒石を並べるためには、図のＡ〜Ｈの８本の直線上に並ぶ３つのマスに黒石を配く必要があります。
いずれの直線を選んでも残った６つのマスから２つのマスを選んで黒石を置くことになります。
この場合の数は
８×（６×５）/（２×１）
＝１２０通り
となりそうですが、２列に３個の黒石が並ぶ場合がダブルカウントされてしまっているので、その場合を取り除く必要があります。 ←あえて数えすぎてあとで調整！
５個の黒石しかないのに、２列に３個の黒石が並ぶのは、その２列に共通する黒石が１個あることになります。
そこで、その共通する黒石がどこにあるかで場合分けします。
（あ）共通する黒石が５の場合
（い）共通する黒石が１、３、７、９の場合
（う）共通する黒石が２、４、６、８の場合
（あ）の場合
３個の黒石が並ぶ２列としてＢ、Ｅ、Ｇ、Ｈの４本の直線のうち２本の直線を選ぶことになるから、この場合は（４×３）/（２×１）＝６通りあります。
（い）の場合
共通する黒石が１の場合、３個の黒石が並ぶ２列としてＡ、Ｇ、Ｄの３本の直線のうち２本の直線を選ぶことになるから、どの直線を選ばないかを考えると、この場合は３通りあります。
共通する黒石が３、７、９の場合も同様に３通りずつあります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
結局、この場合は３×４＝１２通りあります。
（う）の場合
共通する黒石が２の場合、３個の黒石が並ぶ２列はＢ、Ｄの２本の直線に確定するから、この場合は１通りあります。
共通する黒石が４、６、８の場合も同様に１通りずつあります。 ←条件の対等性を利用して作業を減らす！
結局、この場合は１×４＝４通りあります。
したがって、縦、横、斜めの列のうち、いずれか少なくとも１列に３個の黒石が並ぶ並べ方は全部で
１２０−（６＋１２＋４）
＝９８通り
あります。
