慶應義塾高等学校２０１９年数学第３問（解答・解説）
繁分数の計算は、小学生には若干きついので、少し工夫します。
a/(a＋１）の逆数を考えると、(a＋１）/a=１＋１/aとなります。
結局のところ、問題の操作は「ある数が与えられたとき、その数の逆数に１を足した後逆数にする」というものにすぎません。
問題文の例の続きをチェックしてみます。
２（２/１）→①２/３→②２/５→③２/７・・・
（１）
１（１/１）→①１/２→②１/３→③１/４・・・ ←操作の回数（丸数字）と分母がうまく対応していますね。
２０１９回目の操作後のaの値は１/２０２０となります。
（２）
問題文の例と（１）からわかるように、分子は常に同じ数だから、ｎ回目の操作後にa＝１１/９５８となったということは、k＝１１であるということですね。
あとは、単純作業を行うだけです。
１１（１１/１）→①１１/１２→②１１/２３・・・
この１１/２３を求める際の作業を丁寧に書き出すと、
まず、１１/１２を逆数にします（１２/１１）。
次に、１をたします。
１＋１２/１１＝（１１＋１２）/１１＝２３/１１
帯分数を仮分数に直したとき、分子が分母の値だけ増えますね。
最後に、逆数にします（１１/２３）。
この作業からわかるように、分母は初めの数が１で公差１１の等差数列になっていますね。 ←問題文の例と（１）の場合からも分母が等差数列（公差は最初に入れた数）になっていることが確認できますね。
分母が９５８となるのは
（９５８－１）/１１
＝８７回目
の操作後となり、ｎの値は８７となります。