慶應義塾志木高等学校２０１７年数学第１問（４）（解答・解説）
問題文に書いてありますが、正六角形の６個の頂点から２個の頂点を選ぶと、
（６×５）/（２×１） ←組合せですね（以下、同様）。
＝１５本
の線分ができますね。
（ⅰ）
１５本の線分から２本の線分を選ぶのだから、全部で
（１５×１４）/（２×１）
＝１０５通り
の選び方があります。
（ⅱ）
すべての場合から、２本の線分が共有点を持つ場合を取り除きます（余事象の利用）。
２本の線分が共有点を持つのは次の２つの場合になります。
（あ）正六角形ＡＢＣＤＥＦの辺上に共有点を持つ場合
（い）正六角形ＡＢＣＤＥＦの内部に共有点を持つ場合
（あ）の場合
正六角形ＡＢＣＤＥＦの各頂点から必ず５本の線分が出ていますね。
この５本から２本の線分を選ぶことになるので、全部で
６×（５×４）/（２×１） ←まず、１つの頂点を選び、次に２本の線分を選びます。
＝６０通り
あります。
（い）の場合
正六角形ＡＢＣＤＥＦの６個の頂点から４個の頂点を選ぶと、この４頂点を頂点とする四角形ができ、必ず対角線の交点（交わった点）が正六角形ＡＢＣＤＥＦの内部に１つだけできます。
そして、それ以外に正六角形ＡＢＣＤＥＦの内部に２本の線分の交点ができることがないから、この４頂点の選び方が正六角形ＡＢＣＤＥＦの内部の共有点の個数（共有点ができる２本の線分の選び方）にほかなりません。
結局、正六角形ＡＢＣＤＥＦの６個の頂点から４個の頂点を選ぶ場合の数を求めることになりますが、この場合の数は６個の頂点から選ばない２個の頂点を選ぶ場合の数と等しく、最初に述べたことより、１５通りあります。
したがって、条件を満たす選び方は全部で
１０５－（６０＋１５）
＝３０通り
あります。