開成高等学校２０１９年数学第３問（解答・解説）
（１）
サイコロの目を６で割った余りで分類します。
Ａ（余り１）・・・１、７、１３、１９
Ｂ（余り２）・・・２、８、１４、２０
Ｃ（余り３）・・・３、９、１５
Ｄ（余り４）・・・４、１０、１６
Ｅ（余り５）・・・５、１１、１７
Ｆ（余り０）・・・６、１２、１８
２回の出た目の数の和が６の倍数となるのは、Ａ－Ｅ、Ｂ－Ｄ、Ｃ－Ｃ、Ｆ－Ｆの組合せのときだけで、異なるアルファベットの組合せは１回目と２回目の入れ替わりが考えられます。
結局、すべての場合が２０×２０（通り）あり、条件を満たす場合が
４×３×２＋４×３×２＋３×３＋３×３ ←Ａ－Ｅの組合せとＢ－Ｄの組合せ、Ｃ－Ｃの組合せとＦ－Ｆの組合せがそれぞれ条件的に同じであることを利用して、（４×３×２＋３×３）×２としてもよいでしょう。
＝６６通り
あるから、求める確率は
６６/（２０×２０）
＝３３/２００
となります。
（２）
サイコロの目を５で割った余りで分類します。
Ｐ（余り１）・・・１、６、１１、１６
Ｑ（余り２）・・・２、７、１２、１７
Ｒ（余り３）・・・３、８、１３、１８
Ｓ（余り４）・・・４、９、１４、１９
Ｔ（余り０）・・・５、１０、１５、２０
（ⅰ）
a×b×cが０とならない場合を考えます（余事象の利用）。
すべての場合が２０×２０×２０（通り）あり、この場合は、３回ともＴ以外のグループの場合で、１６×１６×１６（通り）あるから、この確率は
（１６×１６×１６）/（２０×２０×２０）
＝（４×４×４）/（５×５×５） ←うまく約分できますね。
＝６４/１２５
だから、求める確率は
１－６４/１２５
＝６１/１２５
となります。
（ⅱ）
有名問題で、同じような問題が東大（２００３年前期理科数学第５問）や京大（１９９２年前期文理共通数学第４問、２０２３年理系数学第３問）で出されています。
a×b×c/６が整数とならない場合、つまりa×b×cが６で割り切れない場合を考えます（余事象の利用）。
a×b×cが６（＝２×３）で割り切れないのは、a×b×cが２で割り切れないか３で割り切れない場合で、それは、３回ともＱ、Ｓ、Ｔ以外の場合（３回ともＰかＲの場合）か３回ともＲ、Ｔ以外の場合（３回ともＰかＱかＳの場合）になります。
すべての場合が２０×２０×２０（通り）あり、この場合は
８×８×８＋１２×１２×１２－４×４×４ ←３回ともＰの場合がダブっていることに注意しましょう。わかりにくければヴェン図をかくとよいでしょう。
＝４×４×４×（８＋２７－１） ←分配法則を利用しました。
＝４×４×４×３４（通り）
あるから、この確率は
（４×４×４×３４）/（２０×２０×２０）
＝３４/（５×５×５） ←うまく約分できましたね。上で計算しなかったのは、これを見越していたからです。
＝３４/１２５
だから、求める確率は
１－３４/１２５
＝９１/１２５
となります。