大阪星光学院高等学校２００５年数学第３問（解答・解説）
説明の便宜上、５つの円を左から順に①、②、③、④、⑤とします。
５色以下の色鉛筆を使って５つの円を描く方法は全部で
５×４×４×４×４ ←①が５通りあり、そのそれぞれに対して②が①以外の４通りあり、そのそれぞれに対して③が②以外の４通りあり、・・・。
＝１２８０通り
あります。
このうち、（１）２色を使うもの、（２）３色を使うもの、（３）４色を使うもの、（４）５色を全部使うものが考えられますが、使える色が中途半端に制限されたものは面倒なので、（４）、（１）、（３）、（２）の順に解きます。
（４）
この場合は
５×４×３×２×１ ←①が５通りあり、そのそれぞれに対して②が残りの４色の４通りあり、そのそれぞれに対して③が残りの３色の３通りあり、・・・（単なる順列ですね）
＝１２０通り
あります。
（１）
（５×４）/（２×１）×２ ←使う色の選び方が（５×４）/（２×１）通り（組合せですね）あり、そのそれぞれに対して①の色の決め方が２通りあり、そのそれぞれに対して②～⑤の色がただ１通りに確定しますね。
＝２０通り
あります。
（３）
これが実質的にはメインの問題です。
２つの円だけ同じ色を使うことになりますね。
同じ色を使う円の選び方が
（５×４）/（２×１）－４ ←①から⑤の円のうち異なる２つを選びますが、すべての場合から交わる２つの円を選ぶ場合を取り除きました。交わる２つの円の選び方は左側の円の決め方を考えればいいですね。なお、この程度であれば書き出してもいいでしょう（①－③、④、⑤と②－④、⑤と③－⑤という感じです）。
＝６通り
あり、そのそれぞれに対して使わない色の選び方が５通りあり、そのそれぞれに対して色の決め方が４×３×２×１（通り）ある（順列ですね）から、この場合は全部で
６×５×４×３×２×１
＝７２０通り
あります。
（２）
この場合は全部で
１２８０－（１２０＋２０＋７２０）
＝４２０通り
あります。