東海高等学校２０１４年数学第２問（解答・解説）
（１）
まず、カードの数字を４で割った余りで分類します。
（Ａ）４で割ると１余る数・・・１、５
（Ｂ）４で割ると２余る数・・・２、６
（Ｃ）４で割ると３余る数・・・３、７
（Ｄ）４で割り切れる数・・・４
２個の整数の和が４の倍数となるのは、（あ）（Ｂ）から２個選ぶ場合と（い）（Ａ）、（Ｂ）から１個ずつ選ぶ場合があります。
（あ）の場合
１通りだけですね。
（い）の場合
２×２＝４通りあります。
（あ）、（い）より、条件を満たす選び方は全部で１＋４＝５通りあります。
なお、この程度の問題であれば、２個の整数の和が４の倍数となるものを書き出しても解けますが、整数の個数が増えた場合のことを考え、応用性の高い解法で解きました。
例えば、１から１００までの１００個の整数から２個選んで、その和が４の倍数になる選び方を求める問題になったとしても、４で割った余りで分類して解けば、（２５×２４）/（２×１）＋２５×２５＋（２５×２４）/（２×１）＝１２２５通りというように簡単に答えが求められますからね。
（２）
積が５の倍数になっているから、５を必ず選んだことになります。
５以外の残り６個の整数（１、２、３、４、６、７）から異なる２個の整数を選ぶことになりますが、奇数２個選んだときのみ条件を満たさないことになります。 ←一部余事象の利用
したがって、条件を満たす選び方は
（６×５）/（２×１）−３ ←５以外の６個の整数から異なる２個の整数を選ぶ場合の数から、奇数３個のうち２個選ぶ場合の数を引いて求めました。奇数２個を選ぶ場合については、奇数３個（１、３、７）のうちどの１個を使わないか考えました。
＝１５−３
＝１２通り
あります。
なお、すべての場合の数から、１０の倍数とならない（５を選ばないか偶数を選ばないかになります）場合の数を引いて求めることもできます。
式だけ書いておくので、なぜそうなるか考えてみましょう。
（７×６×５）/（３×２×１）−｛（６×５×４）/（３×２×１）＋４−１）＝１２通りとなります。