慶應義塾女子高等学校２０２３年数学第１問[１]（解答・解説）
勘のいい小学生なら、ｎ×ｎとｍ×ｍが連続する平方数の場合、６＋１７＝２３＝１１＋１２だから、１１×１１と１２×１２だなと考えて、ｘ＝１２１＋１７＝１３８、ｍ＝１２、ｎ＝１１と答えをすぐに求められるでしょうね。
もう少し厳密に解いてみると、次のようになります。
与えられた条件より
ｘ＋６＝ｍ×ｍ
ｘ−１７＝ｎ×ｎ
となります。
差を考えると、ｍ×ｍ−ｎ×ｎ＝２３となります。
和と差の積＝２乗の差となること（南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）の解答・解説を参照）を利用すると、（ｍ＋ｎ）×（ｍ−ｎ）＝２３となります。
ｍ、ｎは整数だから、ｍ＋ｎもｍ−ｎも整数となります。
ｍ＋ｎとｍ−ｎは２３の約数のペアで、ｍ＋ｎ＞ｍ−ｎだから、ｍ＋ｎ＝２３、ｍ−ｎ＝１となります。
和差算を解くと、ｍ＝（２３＋１）/２＝１２、ｎ＝１２−１＝１１、ｘ＝１１×１１＋１７＝１３８となります。