西大和学園高等学校２０１９年数学第１問（５）（解答・解説）
Ｎの百の位の数を〇、下２桁を□とします。
「Ｎを１００で割った余りは百の位の数を１２倍した数に１加えた数に等しい」から、□（＝〇×１２＋１）は１２で割ると１余る数となります。
また、「Ｎの一の位の数を十の位に、Ｎの十の位の数を百の位に、Ｎの百の位の数を一の位に置きかえてできる数はもとの整数Ｎより６３大きい」から、
□×１０＋〇−（〇×１００＋□）＝６３
□×９−〇×９９＝６３
□−〇×１１＝７
□＝〇×１１＋７
となり、□は１１で割ると７余る数となります。
結局、□は１２で割ると１余り、１１で割ると７余る２桁の整数となります。
１２で割ると１余る数は奇数だから、１１で割ると７余る２桁の整数のうち奇数だけを書き出します。
２９，５１，７３，９５ ←１１×２＋７に２２を足していくだけです。
このうち、１２で割ると１余る数は７３だけですね。
したがって、□＝７３となり、〇＝（７３−７）/１１＝６となるから、Ｎは６７３となります。