灘高等学校２０２５年数学第５問（解答・解説）
Ａさんが５０円玉、１０円玉、５円玉、１円玉をそれぞれ〇枚、□枚、△枚、☆枚をＢさんに渡したときに、Ｂさんの支払える金額（Ａさんのは支払った金額は除きます）が何通りあるかを考えることになります（〇と△は０以上１以下の整数、□と☆は０以上の４以下の整数で、〇、□、△、☆がすべて０になる場合は除きます）。
Ｂさんが支払える金額は、全部で
（〇＋１）×（□＋１）×（△＋１）×（☆＋１）−２ ←５０円玉は０枚か〇枚の（〇＋１）通りあり、そのそれぞれに対して、１０円玉は０枚から□枚の（□＋１）通りあり、そのそれぞれに対して、５円玉は０枚か△枚の（△＋１）通りあり、そのそれぞれに対して、１円玉は０枚から☆枚の（☆＋１）通りあります（このことは、〇、□、△、☆が０のときも成り立ちます）。条件を満たさないのは、すべて０枚のときと５０円玉〇枚、１０円玉□枚、５円玉△枚、１円玉☆枚のときになります。
通りあります。
〇、□、△、☆に条件を満たす数を順次入れた、２×５×２×５−１＝９９通りの数の合計を求めることになりますが、小学生にとってはこの部分の計算が少し厄介です。 ←２を９９回引く部分ついては問題ないですね。
（〇＋１）×（□＋１）×（△＋１）×（☆＋１）だけ取り出し考えます。
とりあえず、〇＝□＝０の場合について、つまり（△＋１）×（☆＋１）について考えます。
△＝０のとき、☆に０から４までの整数を順次入れて、分配法則の逆を利用すると、
１×（１＋２＋３＋４＋５）
となります。
△＝１のとき、☆に０から４までの整数を順次入れて、分配法則の逆を利用すると、
２×（１＋２＋３＋４＋５）
となります。
〇＝□＝０のときをまとめると、
（１＋２）×（１＋２＋３＋４＋５） ←約数の和を求めるときのように、面積図をイメージしてもよいでしょう（神戸女学院中学部１９９５年算数２日目第４問の解答・解説を参照）。
となります。
〇＝０、□＝１、２、３、４のときも同様にすると、それぞれ
２×（１＋２）×（１＋２＋３＋４＋５）
３×（１＋２）×（１＋２＋３＋４＋５）
４×（１＋２）×（１＋２＋３＋４＋５）
５×（１＋２）×（１＋２＋３＋４＋５）
となり、〇＝０のときをまとめると、
（１＋２＋３＋４＋５）×（１＋２）×（１＋２＋３＋４＋５）
となります。
〇＝１のとき、同様にして、
２×（１＋２＋３＋４＋５）×（１＋２）×（１＋２＋３＋４＋５）
となり、すべてをまとめると、
（１＋２）×（１＋２＋３＋４＋５）×（１＋２）×（１＋２＋３＋４＋５）
＝３×１５×３×１５
＝４５×４５ ←２０２５年の受験生なら、４５×４５＝２０２５となることは当然覚えているはずですね。
＝２０２５
となります。
このうち、〇＝□＝△＝☆＝１のときの１×１×１×１＝１を取り除く必要があります。
したがって、「成立」となる場合は全部で
２０２５−１−２×９９
＝１８２６通り
あり、すべての場合が９９×９８通りあるから、求める確率は
１８２６/（９９×９８）
＝８３/４４１
となり、これが（２）の答えとなります。
なお、ＡさんがＢさんに２３円を支払ったときに「成立」となるのは
３×４−２
＝１０通り
あり、これが（１）の答えとなります。