大阪星光学院高等学校２０２５年数学第４問（解答・解説）
とりあえず、１８０°回転して同じになるものは１通りと考えるという条件を無視します。 ←あえて数えすぎて（ダブらせて）後で調整します。
少し難しそうな問題なので、問題文の例（ｎ＝１のとき）をまず理論的に分析します。 ←１８０°回転すると〇×と同じになる×〇がはじかれているとうことはすぐにわかりますね。そこで、左右対称性に着目します。
２×１＝２個のマスに〇と×を入れるとき、入れ方は全部で（２×２（２を２個かけあわせた数））通りあります。
このうち、左右対称なもの（□□（□には同じ記号を入れます））は、□に入れる記号の決め方（１個のマスの記号の入れ方にほかなりませんね）を考えればよく、２通りあります。
１８０°回転して同じになるものを１通りと考えるとき、左右対称でないなものに関してはダブルカウントされているから、記号の入れ方は全部で
（２＋２×２）/２ ←ダブルカウントされていない方をあえてダブルカウントしてすべての場合をダブルカウントされた状態に持ち込み、重複度の２で割りました。２＋（２×２−２）/２とすることもできます。
＝３通り
となりますね。
（１）
２×２＝４個のマスに〇と×を入れるとき、入れ方は全部で（２×２×２×２（２を４個かけあわせた数））通りあります。
このうち、左右対称なもの（□△△□（□と△にはそれぞれ同じ記号を入れます））は、□と△に入れる記号の決め方（２個のマスの記号の入れ方にほかなりませんね）を考えればよく、（２×２）通りあります。
１８０°回転して同じになるものを１通りと考えるとき、左右対称でないなものに関してはダブルカウントされているから、記号の入れ方は全部で
（２×２＋２×２×２×２）/２ ←ダブルカウントされていない方をあえてダブルカウントしてすべての場合をダブルカウントされた状態に持ち込み、重複度の２で割りました。２×２＋（２×２×２×２−２×２）/２とすることもできます。
＝１０通り
となります。
ｎ＝１とｎ＝２のときの分析がきっちりできたので、メインの問題を片づけてしまいます。
（３）
（２×ｎ）個のマスに〇と×を入れるとき、入れ方は全部で２2n（２を（２×ｎ）個かけあわせた数）通りあります。
このうち、左右対称なものは、ｎ個のマスの記号の入れ方を考えればよく、２n（２をｎ個かけあわせた数）通りあります。
１８０°回転して同じになるものを１通りと考えるとき、左右対称でないなものに関してはダブルカウントされているから、記号の入れ方は全部で
（２n＋２2n）/２ ←ダブルカウントされていない方をあえてダブルカウントしてすべての場合をダブルカウントされた状態に持ち込み、重複度の２で割りました。２n＋（２2n−２n）/２とすることもできます
＝２n-1＋２2n-1（通り）
となります。
（２）
（３）のｎが３のときだから、ｎ＝３のとき、記号の入れ方は
２×２＋２×２×２×２×２
＝３６通り
あります。
（参考）
２1＝２→２2＝４→２3＝８→・・・
２を順にかけていっているので、→の向きに１つ移動する（指数が１増える）と当然２倍になっていき、→と反対の向きに１つ移動する（指数が１減る）と当然１/２倍になりますね。
すると、
・・・→２-2＝？→２-1＝？→２0＝？→２1＝２→・・・
２0＝２×１/２＝１となり、２-1＝１×１/２＝１/２＝１/２1となり、２-2＝１/２×１/２＝１/４＝１/２2となることもすぐにわかるでしょう。