筑波大学附属駒場高等学校２０２５年数学第２問（解答・解説）
（１）
９９を素因数分解すると３×３×１１となります。
１以上９９以下の整数で３でも１１でも割り切れない整数の個数を求めればよいから、<９９>は
９９×２/３×１０/１１ ←下の（イメージ図）を参照しましょう。（２）以下も同様です。
＝６０
となります。
（イメージ図）
とりあえず、１から６までの６個の整数で２でも３でも割り切れない数が何個あるか考えてみます。
２または３で割り切れる数に〇をつけます。
１②③
④５⑥
２でも３でも割り切れない数を×、２または３で割り切れる数を〇として、次のように並べ替えることができます。
××〇
〇〇〇
縦２、横３の長方形の縦が１/２、横が２/３になり、面積が６×１/２×２/３＝１×２＝２となるイメージです。
３と１１の最小公倍数の３３個の場合について説明します。
〇は１から３３までの整数を並べたもの（上の例の並べ替えた後の図と同様のもの）で、〇は３で割り切れる数、〇は１１で割り切れる数、〇は３でも１１でも割り切れる数を表します。
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
縦３、横１１の長方形の縦が２/３、横が１０/１１になり、面積が３３×２/３×１０/１１＝２×１０＝２０となるイメージです。
９９個の場合、これがちょうど９９/３３＝３セットあるだけのことですね。
なお、ヴェン図をイメージして、１以上９９以下の整数の個数から、３または１１で割り切れる整数の個数を引いて求めると、
９９－（９９/３＋９９/１１－９９/３３）
＝９９－（３３＋９－３）
＝６０
となります。
（２）
１以上ｎ以下の整数で３で割り切れない整数の個数を求めればよいから、ｎ＝３aのときの<ｎ>は
ｎ×２/３
＝２ｎ/３
となります。
なお、３で割り切れる整数は３個ごとに現れるから、１周期の３個だけ調べればよく、３で割り切れない整数は、以下のように３個中２個あることがわかります。
１〇 、２〇 ３×
ｎは３で割り切れる整数で、半端がないから、求める個数はｎ×２/３となります。 ←小学生の場合、文字があるとわかりにくいですが、その場合は具体的な値を考えてみればよいでしょう。例えば、ｎ＝３×３＝９のとき、３個中２個が条件を満たすのであれば、９個の場合に条件を満たすのが９×２/３（個）となるのは当たり前のことだとわかるはずですね。
（３）
１以上ｎ以下の整数で３でも５でも割り切れない整数の個数を求めればよいから、ｎ＝３a×５bのときの<ｎ>は
ｎ×２/３×４/５
＝８ｎ/１５
となります。
（１）、（２）の最後に述べたように、ヴェン図をイメージしたり、１周期の１５個を調べつくたりして解くこともできます。
（４）
１以上ｎ以下の整数で互いに異なる２つの素数pでもqでも割り切れない整数の個数を求めればよいから、ｎ＝ｐa×ｑbのときの<ｎ>は
ｎ×（ｐ－１）/ｐ×（ｑ－１）/ｑ
＝ｐa×ｑb×（ｐ－１）/ｐ×（ｑ－１）/ｑ
＝ｐa-1×ｑb-1×（ｐ－１）×（ｑ－１） ←ｐとｑが１個ずつ約分できましたね。
となり、これが２４と等しくなります。
一般性を失うことなくｐ＜ｑとできます。 ←異なる素数ｐ、ｑの大小関係はｐ＜ｑまたはｐ＞ｑですが、条件的に同じだから、ｐ＜ｑの場合だけ考えればいいですね。
２４を素因数分解すると２×２×２×３となります。
素因数２がたくさんあるから、唯一の偶数の素数２があるかどうかで分類して解きます。
（あ）素数２が含まれる場合
２は最小の素数だから、ｐ＝２となります。
このとき、２a-1×ｑb-1×（ｑ－１）＝２４となります。
ｑは奇数となり、ｑ－１は偶数となります。
２a-1は１、２、４のいずれかとなります（それぞれa＝１、２、３となります）。 ←ｑ－１が偶数だから、２a-1は８となりませんね。なお、２1＝２、２2＝４、２3＝８、・・・というように、指数（２の右肩の数）が１増えると２倍になり、１減ると１/２倍になっているから、２0は２1＝２の１/２倍の１となりますね（他の指数についても同様です）。
a＝１のとき、ｑb-1×（ｑ－１）＝２４となり、ｑ－１は８か２４となりますが、それぞれｑ＝９か２５となり、素数とはならないのでこの場合はありません。
a＝２のとき、ｑb-1×（ｑ－１）＝１２となり、ｑ－１は４か１２となり、それぞれｑ＝５か１３となります。
ｑ＝５のとき、５b-1＝３となり、条件を満たさず、ｑ＝１３のとき、１３b-1＝１となり、ｂ－１＝０つまりｂ＝１とすれば条件を満たします。
このときのｎは２×２×１３＝５２となります。
a＝３のとき、ｑb-1×（ｑ－１）＝６となり、ｑ－１は２か６となり、それぞれｑ＝３か７となります。
ｑ＝３のとき、３b-1＝３となり、ｂ－１＝１つまりｂ＝２とすれば条件を満たし、ｑ＝７のとき、７b-1＝１となり、ｂ－１＝０つまりｂ＝１とすれば条件を満たします。
このときのｎは２×２×２×３×３＝７２か２×２×２×７＝５６となります。
（い）素数２が含まれない場合
ｐもｑも奇数となり、ｐ－１もq－１も偶数となります。
ｐ－１とｑ－１に素因数２の割り振りを考えると、一方が１個でもう一方が２個となります。また、素因数３の割り振りを考えると、両方とも０個か片方だけが１個となります。
ｐ＜ｑに注意すると、ｐ－１とｑ－１の組合せは以下の通りとなります。
ｐ－１ ２ ２ ４
ｑ－１ ４ １２ ６
それぞれのｐとｑの組合せは
ｐ ３ ３ ５
ｑ ５ １３ ７
となり、条件を満たします。
（ｐ,ｑ）＝（３，５）のとき、３a-1×５b-1×２×４＝２４となるから、a－１＝１、b－１＝０つまりa＝２、ｂ＝１となり、このときのｎは３×３×５＝４５となります。
（ｐ,ｑ）＝（３，１３）のとき、３a-1×１３b-1×２×１２＝２４となるから、a－１＝０、b－１＝０つまりa＝１、ｂ＝１となり、このときのｎは３×１３＝３９となります。
（ｐ,ｑ）＝（５，７）のとき、５a-1×７b-1×４×６＝２４となるから、a－１＝０、b－１＝０つまりa＝１、ｂ＝１となり、このときのｎは５×７＝３５となります。
したがって、求めるｎは３５、３９、４５、５２、５６、７２となります。
なお、素数ｐ、ｑが２４を超える素数（２９以上の素数）となることはない（例えば、ｑが２９の場合を考えると２９－１が２４を超えてしまい、条件を満たさないですね）から、素数ｐ、ｑとしてありうるものは、２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３となります。
このうち、１１－１＝１０、１７－１＝１６、１９－１＝１８、２３－１＝２２が２４の約数とならないことがすぐにわかるから、結局、素数ｐ、ｑとしてありうるものは、２、３、５、７、１３となります。
このことに着目して、調べつくすことも可能かもしれませんね。
面倒そうで、ミスが起こりそうなのでしませんが・・・