開成中学校２００７年算数第３問（解答・解説）
時間の比 Ａ：（Ａ＋Ｃ）：（Ｂ＋Ｃ）
＝５/２分：２分：７分
＝５：４：１４
↓逆比←距離一定（円１周）
速さの比 Ａ：（Ａ＋Ｃ）：（Ｂ＋Ｃ）
＝１/５：１/４：１/１４
＝２８：３５：１０
となります。
Ａの速さを[２８]とすると、Ｃの速さは
[３５]−[２８]
＝[７]
となり、Ｂの速さは
[１０]−[７]
＝[３]
となります。
（１）
Ｂが初めて元に戻るのは、出発してから
[２８]×５/２÷[３]
＝７０/３分後
＝２３分２０秒後
だから、１時２３分２０秒となります。
（２）
ＡがＢに初めて追いつくのは、出発してから
[２８]×５/２÷（[２８]−[３]）
＝１４/５分後
＝２分４８秒後
だから、１時２分４８秒となります。
（３）
１番遅いＢを固定して、Ａが
[２８]−[３]
＝[２５]
の速さで時計回りに、Ｃが[１０]（[７]＋[３]）の速さで反時計回りに回っていると考えればいいでしょう。
このように考えたときのＡとＣの速さの比は
[２５]：[１０]
＝５：２
だから、同一時間に進んだ距離の比も５：２となります。
円周を図のように３等分します。
Ａ、Ｂ、Ｃが正三角形の３頂点となるのは、ＣがＰに来てＡがＱに来るかＣがＱに来てＡがＰに来るかですね。
Ｃが初めてＰに来たとき（Ｃが１/３周進んだとき）、Ａは１/３×５/２＝５/６周進むので、この場合は駄目ですね。
Ｃが初めてＱに来たとき（Ｃが２/３周進んだとき）、Ａは２/３×５/２＝５/３周＝１周＋２/３周）進んだ地点Ｐに来るので、この場合は条件を満たします。
したがって、Ａ、Ｂ、Ｃが初めて正三角形の３つの頂点となるのは
[２８]×５/２×２/３÷[１０]
＝１４/３分後
＝４分４０秒後
だから、１時４分４０秒となります。
