開成中学校２０１０年算数第３問（解答・解説）
（１）
１０時の時点で
３０×１０
＝３００度
「後方」にいた長針が
６−１/２ ←時計算における長針の速さは３６０/６０＝６度/分で、短針の速さは３０/６０＝１/２度/分ですね。
＝１１/２度/分
の速さで短針を追いかけるのだから、長針と短針が重なるのは
３００÷１１/２
＝６００/１１
＝５４・６/１１分後
＝５４分３６０/１１秒後
＝５４分３２・８/１１秒後
となります。
したがって、求める時刻は１０時５４分３２・８/１１秒後となります（帯分数は・を利用して表しています。以下同様です）。
（２）
（１）の時刻から時計を動かしていきます。
長針と短針の位置関係は次の図のようになり、秒針が大体１周する間（１分間）に４回条件を満たすことがわかります。 ←１１時１０分の少し前あたりは、「１周」に４回というのが微妙ですが、答えの回数が減るほどの影響はありません。
１１時１０分までは同じような状況になりますね。
１１時１０分−１０時５４分３２・８/１１秒
＝１５分２７・３/１１秒
で、秒針は１５周と半周弱ですが、１１時１０分の時計の位置（次の図を参照）を思い浮かべれば、最後の半端の部分は（あ）の状況で終わっていることがわかります。
したがって、求める回数は
４×１５＋１
＝６１回
となります。
条件を満たす最後の時刻を求めるので、１１時１０分からさかのぼって（時計を逆回しして）考えます。
図の△の角度は
３０−１/２×１０
＝２５度
となります。
１１時１０分から、（あ）の状態になるのは、秒針と長針のちょうど真ん中に短針が来るときですね。
秒針と長針の常に真ん中にある架空（かくう）の針Ｘを考えると、針Ｘと短針が重なる場合を考えればいいですね。
針Ｘは、１１時１０分の時点で図の位置（□＝６０/２＝３０度）にあり、毎分（３６０＋６）/２＝３６６/２度の速さで動くので、時計を逆回ししたときに、針Ｘと短針が初めて重なる（針Ｘが初めて短針に追いつく）のは、
（２５＋３０）÷（３６６/２−１/２）
＝１１０/３６５
＝２２/７３分後
となります。
したがって、求める時刻は
１１時１０分−２２/７３分
＝１１時９・５１/７３分
＝１１時９分３０６０/７３秒
＝１１時９分４１・６７/７３秒
となります。
