開成中学校２０１１年算数第２問（解答・解説）
ニュートン算の問題ですね。
ニュートン算には様々な解法（線分図を利用する解法（ラ・サール中学校１９８９年算数２日目第４問）、図形的に処理する解法（四天王寺中学校２０１０年算数第３問）など）が考えられますが、ここでは単位時間当たりの変化量に着目して速さの問題として解きます。
開門のときの行列の人数を[６０]人、１分間に行列に加わる人を①人、１台の券売機が１分間に処理する人数を＜１＞人とします。
開門と同時に券売機を５台使うと２０分で行列がなくなることから、
＜５＞－①＝[６０]/２０＝[３]
となり、開門と同時に券売機を６台使うと１５分で行列がなくなることから、
＜６＞－①＝[６０]/１５＝[４]
となります。
差を考えると、＜１＞＝[１]となり、①＝[２]となります。
したがって、開門と同時に券売機を１０台使うと
[６０]/（[１０]－[２]）
＝１５/２分
かかります。
あとは、蛇足の問題を解くだけです。
仮に開門のときの行列の人数が５０人少なければ、開門と同時に券売機を７台使えば１０分で行列がなくなることから、
[７]－[２]＋５０/１０＝[６０]/１０ ←開門のときの行列の人数が変わらなければ、１分あたり５０/１０人余分に処理すればいいですね。
となり、[１]＝５となります。
したがって、開門のときの行列の人数は
５×[６０]/[１]
＝３００人
となります。
なお、１５/２分で券売機１台が処理できる人数が５×１５/２＝７５/２人となってしまい、現実にはあり得ないことになるので、数値設定が不適切です。