開成中学校２０１９年算数第２問（解答・解説）
まず、立体の切り口を確定させます。
次の手順に従ってかくだけです。
[立体を切断したときの切り口をかく手順]
①同一面上の点同士を結びます。
②平行な面の切り口の線は平行になることに着目して平行線を引きます。
③①、②が使えないときに、すでにある切り口の線を延長して、①、②が使えるようにします。
実際にやってみましょう。
まず、ＱＳをＰＲと平行になるように引きます（上の左端の図）。
ＳＥ＝４×９/１２＝３cmとなります。
実は、この時点で（１）と（２）が解けてしまいます。
（１）
上の面と後ろの面が切断されることが点Ｐの存在により、下の面と前の面が切断されることが点Ｑの存在により、右の面が切断されることが点Ｒの存在により、左の面が切断されることが点Ｓの存在により、それぞれ確定しているため、切り口の辺が少なくとも６か所あらわれることが確定しています。
直方体の面は６面だから、辺が７以上になることはありえず、図形Ｘは切り口を完成させるまでもなく、六角形とわかります。
（２）
前正面から見た図は上の真ん中の図のようになります。
この長方形の面積は
２２８＋４×３×１/２＋１２×９×１/２
＝２８８cm2
で、横の長さが８＋１２＝２０cmだから、辺ＡＥの長さ（縦の長さ）は
２８８/２０
＝１４．４cm
となります。
（３）
切り口の続きをかきます。
この時点ではかく線がないので、ＳＱを延長します。
ＳＱの延長線とＡＢの延長線が交わる点をＴとします。
ＴとＰは同一面上の点同士なので、結べます。
この直線と辺ＡＤの交点をＵとします。
上の面と下の面は平行だから、ＵＰと平行にＱＶを引きます。
ただし、この問題の場合、立体の図にかいても意味がないので、真上から見た図（上の右端の図）にかきます。
まず、三角形ＳＥＱと三角形ＳＡＴのちょうちょ相似（相似比はＳＥ：ＳＡ＝３：（１４．４－３）＝５：１９）に注目すると、ＡＴ＝４×１９/５cmとわかり、次に、三角形ＵＴＡと三角形ＵＰＤのちょうちょ相似（相似比はＡＴ：ＤＰ＝４×１９/５：８＝１９：１０）に注目すると、ＵＡ：ＵＤ＝１９：１０＝⑲：⑩とわかります。
また、図の２つの直角三角形は相似（相似比は、８：１６＝１：２）だから、図の⑳のところがわかります。
この長方形の面積が（⑩×８×１/２＋⑳×１６×１/２＋２６６）cm2で、横の長さが２０cmだから、縦の長さは
（⑩×８×１/２＋⑳×１６×１/２＋２６６）/２０
＝⑩＋１３．３（cm） ←分配法則を利用しました。
となります。
これが⑩＋⑲と等しくなるから、⑲＝１３．３となり、ＡＤの長さは
１３．３＋１３．３×⑩/⑲
＝１３．３＋７
＝２０．３cm
となります。
