開成中学校２０２１年算数第２問（解答・解説）
（１）
底面が三角形きＧｇ、高さがagの三角錐だから、求める体積は
６×６×１/２×６×１/３
＝３６cm3
となります。
（２）
（解法１）
等積変形を利用して解きます。
頂点ウを三角形きaＧ（辺きa）に平行に、立方体の辺ＡＧの延長上に来るまで移動します。
前から後ろに６cm移動すると下から上に６cm移動するから、頂点ウは頂点Ｈ（直線ＡＧ上のＡの４cm上の点）に来ます。
結局、三角錐きーaＧＨの体積を求めればよいから、求める体積は
１０×６×１/２×６×１/３
＝６０cm3
となります。
（解法２）
底面を三角形きＧaとし、残りの頂点がア→ウ→キと変化していくと考え、変化量を利用して解きます。
残りの頂点がアのとき、立方体にぴったり含まれる正四面体になります。
その体積は
６×６×６×１/３ ←立方体にぴったり含まれる正四面体の体積が立方体の体積の１/３となることは、立方体の体積から三角錐の体積（立方体の１/２×１×１/３）４個を引くと考えればすぐにわかりますね。
＝７２cm3
となります。
残りの頂点がキのときの三角錐の体積は（１）で求めた三角錐の体積と等しく、３６cm3となります。
６めもりで体積が７２−３６＝３６cm3減るから、２めもりでは体積が３６×２/６＝１２cm3減ります。
したがって、求める体積は
７２−１２
＝６０cm3
となります。
（３）
等積変形を利用して解きます。
頂点いを三角形オＣｇ（辺オＣ）に平行に、立方体の辺agの延長上に来るまで移動します。
前から後ろに６cm移動すると下から上に２cm移動するから、頂点いは頂点h（直線ag上のaの１cm上の点）に来ます。
結局、三角錐オーhgＣの体積を求めればよいから、求める体積は
７×６×１/２×６×１/３
＝４２cm3
となります。
なお、三角柱の斜め切りの体積公式（底面積×高さの平均）を使って、次のように「差」で求めることもできます。
６×６×６−６×６×１/２×｛（０＋２＋５）＋（０＋２＋４）＋（１＋２＋６）＋（１＋２＋４）｝/３
＝６×（３６−２９）
＝４２cm3